Образцы решения контрольных работ

1).Контрольная работа №1

Задание №1

Вычислить А ² - 3 АВ, где

А =                     В =

Решение. Находим матрицу

А ² = А ∙ А = ∙  .

  Для получения элемента, стоящего в первой строке и в первом столбце, перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы первого столбца матрицы В (т.е первый элемент первой строки матрицы А умножим на первый элемент первого столбца матрицы В; второй элемент первой строки матрицы А на второй элемент первого столбца матрицы В; третий элемент первой строки матрицы А умножим на третий элемент первого столбца матрицы В)и их произведения сложим.Для получения элемента, стоящего в первой строке и во втором столбце, перемножим соответствующие элементы первой строки матрицы А и элементы второго столбца матрицы В и их произведения сложим и т.д. В итоге получим матрицу размером 3×3: 

А² =

 

=  =

Аналогично находим матрицу :

А ∙ В = ∙  =

 

=

 

=  =

Вычисляем затем матрицу

3∙ А ∙ В = 3∙ = (Чтобы умножить матрицу на число, надо каждый элемент этой матрицы умножить на это число.)= .

Таким образом, получим, что матрица

  А ² - 3 АВ =  -  = (Чтобы сложить две матрицы, надо сложить их соответствующие элементы.)= .

  Задание №2

   Решить систему уравнений

 

                                           (1)

1)  методом Гаусса;

2) по правилу Крамера;

3) матричным способом.

    Решение.

1).Метод Гаусса. Составим расширенную матрицу, соответствующую данной системе (1): 

  Приведем эту матрицу к треугольному виду с помощью элементарных преобразованийнад её строками, а именно:

- перестановкой строк;

- умножением элементов строки матрицы на число;

- сложением соответствующих (стоящих на одинаковых местах) элементов двух строк и помещение сумм этих элементов на место соответствующих элементов одной из складываемых строк.

Чтобы привести матрицу к треугольному виду надо получить нули на месте элементов, стоящих под главной диагональю.   Сперва  получим нули в первом столбце, находящиеся, во второй, третьей и четвертой строках, т.е. надо изменить вторую, третью, четвертую строки. Так как первая строка не изменяется, изменения в других строках будем производить относительно нее: выберем на главной диагонали неизменяемой строки главный элемент, в нашем примере это 2. Если в столбце, в котором мы хотим получить нули, имеется 1, то для облегчения счета строку с1 на первом месте лучше поставить на место первой строки и сделать ее, тем самым, неизменяемой.

Внашем примере, вторая строка содержит на первом месте 1. Поменяем ее с первой строкой. Эту операцию обозначим следующим образом:

С ₂   С ₁,

(здесь   С ₂ –обозначение второй строки, С ₁ – первая строка). При этом получим эквивалентную матрицу

 

 

Теперь главным элементом будет 1.Обведем ее в квадрат. Чтобы получить на месте 2 во второй строке 0, надо каждый элмент первой строки умножить на (-2) и сложить с соответствующим элементом второй строки и их сумму записать на место соответствующего элемента второй строки. Эту операцию обозначим следующим образом:

С ₂:= -2∙ С ₁ + С ₂,

(здесь:= - это оператор присваивания, т.е. значение выражения с правой стороны записывается на место величины, стоящей слева). При этом получим эквивалентную матрицу

 

Чтобы получить вместо числа 3 нуль в третьей строке, проделаем операцию С ₃:= -3∙ С ₁ + С ₃, а чтобы получить вместо (-1) нуль в четвёртой, проделаем операцию С ₄:= С ₁ + С ₄.В результате получим эквивалентную матрицу

 

 

Теперь нужно получить нули во втором столбце в строках три и четыре, т.е. изменяемыми будут третья и четвертая строки. Выберем главный элемент в неизменяемой второй строке во втором столбце и который стоит на главной диагонали (в примере это 3), но среди изменяемых строк имеется четвёртая строка, в которой во втором столбце стоит 1.Поэтому поменяем ее со второй строкой, в которой мы выбрали главный элемент (т.е. надо поменять местами вторую и четвертую строчки):

С ₄   С ₂.При этом получим эквивалентную матрицу

 

 

Теперь главным элементом будет элемент 1. Заключим его в квадат.Что-бы получить вместо 5 нуль в третьей строке, проделаем операцию С ₃:= -5∙ С ₂ + С ₃, а чтобы получить вместо 3 нуль в четвёртой строке, проделаем операцию С ₄:= -3 С ₂ + С ₄. В итоге получим эквивалентную матрицу

Осталось получить нуль в третьем столбце четвертой строки. Главный элемент выбираем в третьем столбце и третьей строке (это -22).Так как изменяемой будет только четвертая строка и среди изменяемых строк в третьем столбце нет единицы, то (-22) и будет главным элементом. Чтобы получить вместо -15 нуль в четвёртой строке, проделаем следующую операцию

С ₄:=- 15∙ С ₃ +22∙ С ₄.При этом получим эквивалентную матрицу

Разделим последнюю строчку полученной матрицы на 41,т.е. проведём операцию С ₄:= С ₄: 41. Получим эквивалентную матрицу

 

Построим по полученной матрице эквивалентную (1) систему уравнений.

Из последнего уравнения находим x ₄ = - 1. Применяя метод обратного хода, подставим это значение в предпоследнее уравнение. Получим:

- 22 x ₃ -  35∙ (-1) = - 9. Отсюда получим,что

 .

Подставляя найденные значения х₄  и х₃  во  второе уравнение, получим

x ₂ +3∙2 + 5∙(-1) = 2, откуда x ₂ = 2 – 6 +5 =1. Подставляя затем найденные значения для x ₄ , х₃ и x ₂ в первое уравнение получим

x ₁ - 1 + 2∙2 +3∙(-1) = 1 или x ₁ = 1.

Ответ: .

2). Решим эту систему по правилу Крамера, применяя формулы (6.3). .

Составим матрицу, соответствующую данной системе:

  А = ,

и запишем столбец свободных членов системы:

В = .

  Вычислим главный определитель системы,  отвечающий  матрице А.  Для этого в начале преобразуем его с помощью элементарных преобразований:

∆ =  =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

=  ,чтобы получить побольше нулей. Раскроем затем этот определитель по элементам  второго столбца по правилу Лапласа. Получим

∆ = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ = а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙

(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = (-1) .

Раскроем полученный определитель по первой строке:

∆ = -   =  - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 + +2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = -(3∙7+2∙10)=-41.

Чтобы получить определитель ∆ _х, заменим первый столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов.

∆ _х =  =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

=  .

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:

∆ _х = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ == а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙

(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = (-1) .

Раскроем полученный определитель по первой строке:

∆ _х = -  = - (1∙(3∙4 -1∙5)+0 +2∙ (4∙5- -3∙1) = - (1∙7+2∙17)= - 41.

Чтобы получить определитель ∆ _у, заменим второй столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов.

  ∆ _у =  =(С ₃:= -4∙ С ₂ + С ₃, С ₄:= - С ₂ + С ₄ )=

=  =

Вынесем минус за знак определителя из третей и четвертой строк, получим

 

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:∆ _у = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ == а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙

(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂==0 + 1∙(-1)²⁺² +0+0 = .

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

=2∙9∙1 + 2∙(-2)∙13 + (-1)∙1∙1 –(-1)∙9∙2 - 1∙(-2)∙1 - 2∙1∙13 = 18-52-1 +18 +2 -26= =-41 =∆ _у..

Чтобы получить определитель ∆ _z, заменим третий столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов:

  ∆ _z =  =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

=  .

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:

∆ _z = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ = а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙

(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = - .

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

∆ _z =- (3∙4∙4 +1∙1∙(-5) + 1∙(-1)∙2 - 2∙4∙(-5) - 1∙1∙3 - 1∙(-1)∙4) =

=-(48 -5 -2 +40 -3+4)=-82

Чтобы получить определитель ∆ _t, заменим четвертый столбец в главном определителе ∆ на столбец свободных членов.Получим

  ∆ _t =  =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

=  .

Раскроем этот определитель по элементам второго столбца:

∆ _t = а ₁₂∙ А ₁₂ + а ₂₂∙ А ₂₂ + а ₃₂∙ А ₃₂ + а ₄₂∙ А ₄₂ =

= а ₁₂∙(-1)¹⁺² М ₁₂ + а ₂₂∙(-1)²⁺² М ₂₂ + а ₃₂∙(-1)³⁺² М ₃₂ + а ₄₂∙(-1)⁴⁺² М ₄₂=

=1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 = - .

Раскроем полученный определитель по правилу треугольника:

∆ _t =- (3∙3∙1 +0∙4∙(-5) + 1∙(-1)∙5 - 1∙3∙(-5) - 0∙1∙(-1) - 5∙3∙4) =

=-(9 +0 -5 +15 +0-60) = 41.

Тогда

x =  =  =1; y = =  =1; z = =  = 2; t = =  = - 1.

Ответ: .

3) Решение системы матричным способом.

Запишем систему (1)

.

через произведение матриц по формуле (2.3). Для этого составим матрицу, соответствующую данной системе:

  А = ,

столбец свободных членов В =  и столбец неизвестных  Х = .

Тогда система уравнений запишется в матричном виде

 

∙  = , 

т.е. А∙Х =В. Откуда находим,что Х = А^{- 1} ∙В.

Найдем обратную матрицу А ^-1. Для этого

1) вычислим главный определитель матрицы

=  =(С ₂:= С ₁ + С ₂, С ₃:= -2∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= -2∙ С ₁ + С ₄)=

=  = 1∙(-1)²⁺¹ +0+0+0 =

= -  = - (3∙(3∙4 -1∙5)+0 +

+2∙ (-1∙5- 3∙(-5)) = - (3∙7+2∙10)= - 41.

2)  построим матрицу ( _ij) из алгебраических дополнений ij элементов матрицы А.

Найдем эти алгебраические дополнения (определители вычисляем по правилу треугольника):

₁₁ = (-1)¹⁺¹ ∙  = 2 - 4 +6+6-1-8 = 1,

 

₁₂ = (-1)¹⁺² ∙  = -(-2 + 2 +9 - 3+1- 12) = 5,

 

₁₃ = (-1)⁴ ∙  = 4 - 1 + 18+6 +2+6 = 35,

 

₁₄ = (-1)⁵ ∙  = -(2 - 1 + 12+ 4+2 + 3) = -22,

 

₂₁ = (-1)³ ∙  = -(-2 + 4 - 2- 2+1+ 8) = -7,

 

₂₂ = (-1)⁴ ∙  = -4 - 2 - 3+ 1+2+ 12 = 6,

 

₂₃ = (-1)⁵ ∙  =-(8 - 6 + 1- 2 + 4- 6) = 1,

₂₄ = (-1)⁶ ∙  = 4 + 1 – 12 – 4 + 4- 3 = -10,

 

₃₁ = (-1)⁴ ∙  = 4 - 12 +1+4-4-3 = -10,

 

₃₂ = (-1)⁵ ∙  = -(8 - 1 +6 - 2- 6+ 4) = -9,

 

₃₃ = (-1)³⁺³ ∙  = -4 - 3 - 2+ 1- 12- 2 = -22,

 

₃₄ = (-1)⁷ ∙  = -(-2 - 2 - 4+ 2-8- 1) = 15,

 

₄₁ = (-1)⁵ ∙  = -(-2 - 1 – 12 +4 + 3 + 2) = 6,

 

₄₂ = (-1)⁶ ∙  = -4 – 18 + 1+6 + 6- 2 = -11,

 

₄₃ = (-1)⁷ ∙  = -(2 - 2 + 9 - 3-12 +1) = 5,

 

₄₄ = (-1)⁸ ∙ = 2- 4 +6 - 6- 8+ 1 = -9.

Полчили матрицу

( _ij) = .

 

3) Находим присоединённую матрицу ( _ji) = ( _ij) ^T :

( _ji) = .

4) Получаем по формуле (2.2) обратную матрицу

А ^-1 =  =  ∙  =

 

Тогда

 

Х =  ∙ ∙  =

 

=  =  = =  = .

Ответ: .

Рассмотрим второй способ получения обратной матрицы А ^-1.

Используется формула вида (9.9):

,

где Е – единичная матрица; А – заданная матрица; - обратная матрица.

С ₁   С ₂ 

С ₂:= -2∙ С ₁ + С ₂,

 

С ₃:= -3∙ С ₁ + С ₃, С ₄:= С ₁ + С ₄,

 

С ₄   С ₂ 

 

С ₁:= С ₂ + С ₁, С ₃:= -5∙ С ₂ + С ₃, С ₄:= -3 С ₂ + С ₄,         

С ₁:= 5 С ₃ + 22 С ₁, С ₂:= 3∙ С ₃ + 22 С ₂,     С ₄:=- 15∙ С ₃ +22∙ С ₄,        

 

 

С ₁:=- С ₄ +41 С ₁, С ₂:= -5∙ С ₄ + 41 С ₂,     С ₃:=35∙ С ₄ +41∙ С ₃

 

 

Разделив первую и вторую строки матрицы на 902, третью на -902.а четвертую на 41, получим

 

,

 

А ^-1 = .

 

Задание №3

Найти фундаментальную систему решений.

.

Решение. Составим расширенную матрицу и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.

С ₂ С ₁  

 

С ₂:= -2∙ С ₁ + С ₂, С ₃:= С ₁ + С ₃,   С ₄:= - С ₁ + С ₄

 

 

 С ₃:= -5 С ₂ + С ₃,                    С ₄:= - С ₁ + С ₄

 

Разделим третью строку на 14, а четвертую на 4

 

  С ₄:= - С ₃ + С ₄

 

Составим по полученной матрице систему уравнений

 

 или   либо .

Таким образом, имеем .

Обозначим t = С. Тогда система имеет множество решений:

. При С = 1 получим ФСР, т.е.

или .

Задания к контрольной работе.

Задание №1

1.Даны матрицы

  А =  и В = .

Вычислить А ² + ВА+2В.

 

2.Даны матрицы

  А =  и В = .

Вычислить А ² + АВ-3В.

3.Даны матрицы

А =  и В = .

Вычислить В ² + АВ- 3 А.

4.Даны матрицы

А =  и В = .

Вычислить В ² - 3 В + ВА.

5.Даны матрицы

А =  и В = .

Вычислить В ² +2А + ВА.

 

6.Даны матрицы

А =  и В = .

Вычислить 2 А ² -3В + ВА.

 

7.Даны матрицы

А =  и В = .

Вычислить В ² - 2 В + 3ВА.

 

8.Даны матрицы

А =  и В = .

Вычислить В ² -3В + 2 АВ.

 

9.Даны матрицы

А =  и В = .

Вычислить 2А ² - 3 В + ВА.

 

10.Даны матрицы

А =  и В = .

Вычислить В ² -4А + ВА.

 

Задание №2

Решить системы линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса;

б) по правилу Крамера;

в) матричным способом.

 

1.                                                6.

 

2.                                               7.

 

3.                                              8.

 

4.                                                9.

 

5.                                             10.

 

Задание №3

Решить систему линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса;

 

1.                                                2.

 

3.                                             4.

 

5.                                           6.

 

7.                                               8.

 

9.                                       10.

 

  Задание №4

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

1.   

                                     

2.

 

3.  

                                     

4.

 

5.   

                                     

6.

 

7.  

                                    

8.

 

9.  

                                         

10.

Задание №5.

Привести квадратичную форму к каноническому виду.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

 

 

              

Рекомендуемая литература

1.Кострикин А.И.Введение в алгебру/А.И..Кострикин.-М.:Наука,1977.

2.Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы/Н.В.Ефимов.-Наука,1964.

3.Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре / И.М.Гельфанд.- Наука,1971.

3.Карасев А.И.,Аксютина З.М.,Савельева Т.И.Курс высшей математики для экономических вузов.Ч.I,II /А.И. Карасев., З.М.Аксютина, Т.И.Савельева – М.:Высш.школа,1982.

4.Бугров Я.С., Никольский С.М.Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии/ Я.С Бугров, С.М.Никольский.- М.:Наука,1984.

5.Шипачев В.С. Высшая математика./В.С. Шипачев.- М.: Высшая школа,1985.

6.Данко П.Е., Попов А.Г.,Кожевников Г.Я.Высшая математика в упражнениях и задачах./ П.Е. Данко., А.Г.Попов., Г.Я. Кожевников –М.:Высш.школа,1986.

7.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры/-М:Высш.школа,1998.

8.Зубков А.Н.Роль математики в формировании общекультурных и профессиональных качеств при подготовке современных специалистов в техническом

ВУЗе./ А.Н Зубков.- г.Таганрог. Аспекты модернизации образования и развития промышленности. Материалы VIII региональной научнот-пракической конференции учреждений высшего и профессионального образования,2010,с.69-72.