Переход к навигации Переход к поиску

Эта статья посвящена асимптотической устойчивости нелинейных систем. Об устойчивости линейных систем см. раздел Экспоненциальная устойчивость.

Часть серии о

Астродинамика

Орбитальная механика

показать Орбитальные элементы

показать Типы орбит двух тел по эксцентриситету

показать Уравнения

Небесная механика

показать Гравитационные воздействия

показать Орбиты N- тел

Инженерия и эффективность

показать Предполетная подготовка

показать Меры по повышению эффективности

v t e

Различные типы устойчивости могут обсуждаться для решений дифференциальных уравнений или разностных уравнений, описывающих динамические системы. Наиболее важным типом является тот, который касается стабильности решений, близких к точке равновесия. Это можно обсудить с помощью теории Александра Ляпунова. Проще говоря, если решения, которые начинаются вблизи точки равновесия {\displaystyle x_{e}}, остаются рядом {\displaystyle x_{e}} навсегда, то {\displaystyle x_{e}} Ляпунов стабилен. Более сильно, если {\displaystyle x_{e}} устойчив по Ляпунову и все решения, которые начинаются близко {\displaystyle x_{e}}, сходятся к {\displaystyle x_{e}}, то {\displaystyle x_{e}} асимптотически устойчивы. Понятие экспоненциальной устойчивости гарантирует минимальную скорость распада, т. е. оценку того, как быстро сходятся решения. Идея устойчивости Ляпунова может быть распространена на бесконечномерные многообразия, где она известна как структурная устойчивость, которая касается поведения различных, но " близких " решений дифференциальных уравнений. Устойчивость от входа к состоянию (ISS) применяет понятия Ляпунова к системам с входами.

В ограниченной задаче о трех телах орбиты Ляпунова представляют собой изогнутые траектории вокруг точки Лагранжа, которые полностью лежат в плоскости двух первичных тел, в отличие от орбит гало и орбит Лиссажу, которые также движутся выше и ниже плоскости.

Содержание

• 1 История
• 2 Определение для систем непрерывного времени
• 2.1 Система отклонений
• 2.2 Второй метод Ляпунова для обеспечения устойчивости
• 3 Определение для систем с дискретным временем
• 4 Стабильность для моделей линейного пространства состояний
• 5 Стабильность для систем с входами
• 6 Пример
• 7 Лемма Барбалата и устойчивость изменяющихся во времени систем
• 8 См. также
• 9 Ссылки
• 10 Дальнейшее чтение

История [ править ]

Устойчивость Ляпунова названа в честь Александра Михайловича Ляпунова, русского математика, защитившего диссертацию " Общая проблема устойчивости движения " в Харьковском университете в 1892 году. ^[1] А. М. Ляпунов был пионером в успешной попытке разработать глобальный подход к анализу устойчивости нелинейных динамических систем путем сравнения с широко распространенным локальным методом линеаризации их относительно точек равновесия. Его работе, первоначально опубликованной на русском языке, а затем переведенной на французский, в течение многих лет уделялось мало внимания. Математическая теория устойчивости движения, основанная А. М. Ляпуновым, значительно опередила время ее внедрения в науку и технику. Более того, сам Ляпунов не занимался этой областью, его собственный интерес заключался в стабильности вращающихся жидких масс с астрономическим применением. У него не было докторантов, которые следили бы за исследованиями в области стабильности, и его собственная судьба была ужасно трагичной из - за русской революции 1917 года ^{[ требуется цитирование ]}. На несколько десятилетий теория стабильности канула в полное забвение. Русско - советский математик и механик Николай Гурьевич Четаев, работавший в Казанском авиационном институте в 1930- е годы, был первым, кто осознал невероятные масштабы открытия, сделанного А. М. Ляпуновым. Вклад в теорию, внесенный Н. Г. Четаевым ^[2], был настолько значительным, что многие математики, физики и инженеры считают его прямым преемником Ляпунова и следующим по очереди научным потомком в создании и развитии математической теории устойчивости.

Интерес к нему внезапно возрос в период холодной войны, когда было установлено, что так называемый " Второй метод Ляпунова " (см. Ниже) применим к устойчивости аэрокосмических систем наведения, которые обычно содержат сильные нелинейности, не поддающиеся лечению другими методами. Тогда и с тех пор в литературе по системам управления и системам появилось большое количество публикаций. ^{[3] [4] [5] [6] [7]} Совсем недавно концепция показателя Ляпунова (связанная с Первым методом Ляпунова для обсуждения устойчивости) получила широкий интерес в связи с теорией хаоса. Методы устойчивости Ляпунова также применялись для нахождения равновесных решений в задачах распределения трафика. ^[8]

Определение для систем непрерывного времени [ править ]