Эта лемма вынуждает нас исключить из членства в группе любую матрицу если от то форма (1), в который N является нильпотент .

ROI _ar-

V

и с N является нильпотентный, p мочь быть выбранный Большой достаточно Для тот N• 0,; в тот дело H* будет быть от ранг u. как с Кей - это совсем другое дело От 0,, его ранг is > 0 и то ранг от таким образом, если W является от выше ранг чем M. Но если если принадлежал Для a Группа U, f^ было бы белон g Для N и, Автор: то лемма, было бы быть от то такой же ранг aa £

То Клондилионы от Группа - фемберслип.

Если матрица принадлежит для группы каждая подобная матрица принадлежит к аналогичному Группа, и если матрица не принадлежит группе, никакая подобная матрица ’ не может принадлежать к группе. Теперь, поскольку каждая матрица подобна матрице вида (1), который, как мы видели, является членом группы, если компонент K, ia ноль, и еще не являющийся членом группы, если N, является нильпотентный, следовательно мы иметь доказанный то

T£tEOREM: & необходимый и достаточно состояние для то членство в группе o/ o ма / риз (o/ рисковать r и ожирение в) является его стмилорий Для a матрица o/ то /orm

(6)

В u:ihich Zq является не - цингулярный.

Из доказательства этой теоремы очевидно, что все различные степени матрицы имеют одну и ту же пустоту, но не обязательно один и тот же ранг; все они имеют один и тот же ранг, если и только если матрица является членом группы.

6. От этот теорема, в поле зрения от то принципы элементарных делители и из канонических формы как установленный в § 2, мы легко выводить несколько ^{charactOTtSbJ}_{*5!** Р} ^?TfJ?S от члены группы Любой один от который отличает их От ВСЕ негрупповые - Участники. С ВСЕ неособое число матрицы являются члены группы, IT будет быть con-

Достаточно ограничиться изложением результатов в единственном значимом случае, в котором матрицы сингулярны.

Таким образом, o единственное число матрица 6e/onps Для a Группы i ft и Только ij, t/ набор + видит Любой один от то следующий эквивалент условия:

(l) его полномочия являются ВСЕ от то Сохранить дорога, •

(2) его канонический фурм Имеет НЕТ Компоненты Тайский являются nt/po/en/;

То пустота начальный делители oJ его характеристика определитель являются мл линейный,-

INznm2ia УГУОЗФОИФ #upree mimuaifs оакаифи.

RAxvx: 7’//e Crovp-Wem6erslfip от Пойте тз lar Матрицы. 23

Если то пустота от a матрия в sero или один, состояние (5) является обязательно удовлетворенный. Поэтому всякая матрица пустоты едина, как и всякая неособая муизиз является a член группы. Для пример, каждый троичный матрица чья характеристика уравнение Имеет около наименьший два корни различный От ноль является a член группы.

Идемпотенль фафрисия.

6. Теперь рассмотрим идентичную матрицу любой группы. Это удовлетворяет кон - dition /° m и поэтому idemgofenf, наоборот, каждая идемпотентная матрица является идентичной матрицей некоторой группы. Каждая такая матрица, по теореме из § 6, аналогично матрице вида (6), которая в данном конкретном случае становится матрица (6). Соответственно, корни его характеристического уравнения равны одному или серо, и не только пустая элементарность делители его характеристики определитель, но все элементарные делители линейны. Так как последняя афера - диция является тоже су 8., мы иметь доказанный то

'I'Heoreaf: A matri; с Z Соф ранг r и racuit y o) является то iden!ic"il matrim от a

Группы i фут и Только ифт IT удовлетворяет Любой один от то следующий экивциентный условия:

(1) если +s идемпотент тот является, /' Jj

(2) + т является Похожие Io a матрица от то форма

G, 0

0 0

В который O является то единица измерения матрица от степень r;

(3) тоти корни от галстук характеристика уравнение являются равный Для один или Перо и то

Начальный divi8ors от его характеристика определитель являются ВСЕ линейный.

Его ранг r является равный Для то множественность от то корень один, пока его пустота c является равный Для то множественность от то корень ноль. Если v 0, == П „, пока если r == 0,

M 0g; в каждый от эти два Экстрим случаи там является Только один идентичный матрица.

Периодические Матрицы.

6. Снова, предполагать тот a матрица если принадлежит Для группа от конечный приказ N; затем IT мочь быть высказанный от как o/ Совсем период, или просто как периодические. Если m является его период и является то идентичный матрица от C, затем Я и f'^ +¹ N. Con- версели, любая матрица тот удовлетворяет уравнению из форма f^+* 3f является периодическим; ибо с тех пор как полномочия if включать один идентичная матрица 3f‘ и обратная величина M, именно 3f'^ ¹, они форма a Группа.

Если в теореме § 6 матрица (6) in периода ni, то m @,;

24