Лекция 2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися

                                переменными

Определение. Дифференциальные уравнения вида f (x) dx = φ(y) dy      (7) называются дифференциальными уравнениями с разделенными переменными.

Так как правая часть уравнения (7) зависит только от переменной y, а левая - от переменной x, то уравнение (7) можно проинтегрировать и, тем самым, получить решение дифференциального уравнения:               

Если из решения не представляется возможным выразить функцию через независимую переменную, то общее решение называется общим интегралом.

Пример 2.1. Найти решение дифференциального уравнения  Так как уравнение с разделенными переменными, то интегрируя получим

lny = lnx + lnC или, учитывая действия с логарифмами, окончательно имеем y = Cx.

Определение. Дифференциальные уравнения вида P (x, y) dx + Q (x, y) dy =0     (8) называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными, если коэффициенты P (x, y) и Q (x, y) можно представить в виде произведения или частного двух функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а именно                P (x, y) = P ₁ (x) P ₂ (y), Q (x, y) = Q ₁ (x) Q ₂ (y).                               (9)

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными с помощью арифметических действий деления и умножения приводятся к дифференциальным уравнениям с разделенными переменными.

Действительно, заменяя коэффициенты при дифференциалах в (8) их выражениями (9), получим

P ₁ (x) P ₂ (y) dx + Q ₁ (x) Q ₂ (y) dy = 0                                                           (10)

Равенство (10) разделим  на произведение Q ₁ (x) P ₂ (y) –

                  

Теперь, сократив одинаковые функции в каждом слагаемом и перенеся одно из них в правую часть равенства, получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными:

                   .

Таким образом, выше изложен алгоритм решения дифференциальных уравнений с разделяющимися.

Замечание. Д ифференциальное уравнение первого порядка называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, если его можно привести к виду   y’ = f(x)·φ(y)                                                                                  (11)

Пример 2.2. Решить задачу Коши (найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям), если

Заданное уравнение уже имеет вид уравнения (11). Поэтому, умножив его на dt и разделив на , приведем его к уравнению с разделенными переменными: и после интегрирования получим общее решение  Удовлетворяя начальным условиям, т.е. подставляя в решение t=1, x=1, найдем значение произвольной постоянной: 1 =1 + С, С = 0.

Таким образом, частное решение принимает вид:

Пример 2.3. Найти решение дифференциального уравнения:

Преобразуем уравнение, учитывая действия со степенями, и вынесем одинаковый сомножитель за скобки второго слагаемого  Полученное уравнение подпадает под определение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными. Разделяя переменные,получим  Первое слагаемое интегрируем по частям, принимая u = x, dv = e^-x. В результате получим решение e^-x(1+x) = e^-y+2y+C.

 

§3 Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Определение. Дифференциальное уравнение называется однородным, если оно имеет вид                            y ’ =                                                           (12)

Уравнение (12) приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой                                 y = u·x                                                                              (13) Определим производную замены (13) y’ = u’x + u                                                 (14) и подставим выражения (13,14) в уравнение (12) u’x + u = f(u). Учитываяu’ = du/dx, после преобразования получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

Определение. Функция M (x, y) называется однородной n порядка, если при замене переменных x = x · t, y = y · t выполняется равенство M (xt, yt) = tⁿM (x, y).

Заметим, что правая часть уравнения (12), является однородной функцией нулевого порядка. Поэтому дифференциальное уравнение

                P(x,y)dx + Q(x,y)dy=0

будет однородным, если функции P (x, y), Q (x, y) однородные одного порядка.

Пример 3.1. Уравнение xy³(x²+xy+y²)dx + y²(x⁴ – y⁴)dy = 0 является однородным, так как P(xt,yt) = xt(yt)³[(xt)²+ (xt)(yt) + (yt)²] = t⁶[xy³(x²+xy+y²)] = t⁶P(x,y), Q(xt,yt) = (yt)²[(xt)⁴-(yt)⁴] = t⁶y² (x⁴ – y⁴) = t⁴Q(x,y). Таким образом, обе функции являются однородными шестого порядка, а дифференциальное уравнение – однородным.

Замечание 1. Если коэффициенты P (x, y), Q (x, y) являются многочленами и однородными функциями, то для приведения уравнения к виду (12) следует уравнение разделить на аргумент в степени порядка однородности.

В последнем примере, разделив на x⁶, получим

Замечание 2.  Если в дифференциальное уравнение входят функции, аргументом которых является отношение переменных (у/х или х/у), то оно также может быть однородным.

Пример 3.2. Уравнение tdx – (t·e^x/t+x)dt = 0 может быть однородным, так как аргумент экспоненты – отношение переменных. И в этом случае разделим уравнение на аргумент высшей степени и получим после преобразования  Найдем решение этого уравнения, произведя замену x = t·u,  Полученное после преобразований уравнение - уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные  и интегрируя, получим общее решение

Замечание 3 Дифференциальное уравнение вида приводится к однородному заменойX = x-x₁ и Y = y-y₁,гдеx₁, y₁- решение системы уравнений В результате подстановки дифференциальное уравнение принимает вид  правая часть которого является однородной функцией нулевого порядка.

Пример 3.3. Найти решение уравнения . Найдем точку пересечения двух прямых x-y+1=0 и x+y-3=0.Координаы точки пересечения будут x₁=1, y=2. Полагая X=x-1, Y=y-2 и подставляя в дифференциальное уравнение, получим  Произведя замену Y = uX, Y’ = u +u’X, получим  или, разделяя переменные - или  В результате интегрирования получаем общее решение C = X(1-2u-u²) или  Произведя вторую обратную замену и проведя необходимые преобразования, получим окончательное общее решение x²-2xy-y²+2x+6y = C₁.

Лекция 3.

§4 Линейные уравнения первого порядка.

                Уравнение Бернулли.

Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение линейное относительно неизвестной функции и ее производной.

Линейное уравнение имеет вид y ’ + p (x)· y = q (x),                                     15)

где p(x) и q(x) в дальнейшем будем считать непрерывными функциями в той области, в которой требуется проинтегрировать уравнение (15).

Если q (x) = 0,  то уравнение

y ’ + p (x)· y = 0                                        (16)

называется однородным и решением будет функция                            

,C ≠ 0.                                                   (17)

Для интегрирования неоднородного уравнения (15) может быть применен метод вариации произвольной постоянной.

Он заключается в следующем: 1. Находим решение (17) однородного уравнения (16); 2. В решении (17) полагаем произвольную постоянную функцией, так что

                              

                ;

3. находим производную этой функции как произведения

                   ;            

4. подставляем функцию y(x) и ее производную y’(x) в уравнение (15) и после соответствующих преобразований получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно произвольной постоянной C(x);

                  

5. интегрируя дифференциальное уравнение, получаем выражение произвольной постоянной             ;

6. подставляем произвольную постоянную в решение однородного дифференциального уравнения и получаем решение линейного дифференциального уравнения (15):

                       

(18)

 

Замечание 4. Выше введено обозначение e^z = exp(z).

Замечание 5. Решая линейное дифференциальное уравнение, не следует запоминать формулу (18), а рекомендуется запомнить алгоритм отыскания решения, который будет применен в других разделах.

Пример 4.1.Решить уравнение

Решаем соответствующее однородное уравнение В решении полагаем постоянную C функцией C(x) и, дифференцируя это решение y’ = C’(x)·x + C, после подстановки в исходное дифференциальное уравнение получаем дифференциальное уравнение относительно C(x):x·C’(x) = x² Интегрируя, получим C(x)=(x²/2) + C₁. Заменяя произвольную постоянную в решении однородного уравнения, получим решение линейного уравнения: y = x(

Пример 4.2. y’- y·ctgx = 2xSinx → y’- y·ctgx = 0 →

 

Уравнение Бернулли.

Определение. Уравнение вида y ’ + p (x)· y = yⁿ · q (x) называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли решается также как и линейное, так как уравнение Бернулли сводится к линейному заменой z = y^-(n-1). Действительно, дифференцируя замену  и подставляя ее вместе с производной в преобразованное уравнение Бернулли , получим линейное уравнение относительно функции z(x): z ’ + p (x)· z = q (x).

Замечание. Решая уравнение Бернулли, необязательно приводить его к линейному.

Пример 4.3. Найти решение дифференциального уравнения . Нетрудно видеть, что это уравнение Бернулли. Решаем его методом вариации постоянной как линейное: =

    §5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах