Охлаждение (нагревание) бесконечно длинного цилиндра

 

12.6.1 Постановка задачи

Цилиндр, радиусом r₀ отдает теплоту окружающей среде через свою боковую поверхность; λ, С_р, ρ не зависят от температуры и считаются известными, заданными; коэффициент теплоотдачи α во всех точках поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлаждения. Температура среды t_cp постоянна.

Отсчет температуры цилиндра, как и для пластины, будем вести от температуры среды. В начальный момент времени избыточная температура цилиндра составит: J₁ = t - t_ср.

При этих условиях уравнение теплопроводности для цилиндра:

                                                   (12.28)

Начальные условия: при τ = 0 J = J₁.

Граничные условия: при τ > 0 и R = 0;

                                                      R = 1; .

Задачу, сформулированную уравнением (12.28) и условиями однозначности решают методом разделения переменных и в результате математических преобразований получают решение в виде:

                                         (12.29)   

                                             (12.30)

Величины  и  определяют по таблицам или номограммам.

 

12.6.2 Определение количества теплоты, отданного цилиндром

 

Так же как и для пластины, количество теплоты Q_o, Дж, которое отдается или воспринимается поверхностью цилиндра за время от τ = 0 до τ = ∞, должно равняться изменению внутренней энергии цилиндра за период его полного охлаждения:

Q_o = π·r₀²× l ×c_p×r×(t₀ - t_cp)                                     (12.31)

За любой промежуток времени от τ = 0 до τ₁ внутренняя энергия цилиндра изменится на величину: Q = Q_o·(1- );

где, как и для пластины = .

Средняя безразмерная температура цилиндра определится из уравнения:

                                                 (12.32)

Безразмерная координата R = r/r₀ изменяется от 0 до1.

Если в это уравнение подставить значение Θ для цилиндра (формула для цилиндра получена тем же методом, как и формула (12.20) для пластины) и проинтегрировать в указанных пределах, то получим:

.                                    (12.33)

Для случая Fo ≥ 0,3 (в некоторых источниках 0,25), можно ограничиться первым членом ряда:

      .                                      (12.34)        

 

  12.7 Охлаждение (нагревание) шара

Рассмотрим охлаждение шара в среде с постоянной температурой t_cp и постоянным коэффициентом теплоотдачи α. В начальный момент времени при τ = 0 все точки шара с радиусом r₀ имеют одинаковую температуру t₀. Теплофизические параметры λ, С_р, ρ не зависят от температуры и считаются известными. При заданных условиях температура для любой точки шара будет функцией только времени и безразмерной координаты R = r/r₀.

Также требуется найти распределение температуры внутри шара, т.е. уравнение температурного поля.

Если обозначить текущую избыточную температуру для любой точки шара J = t - t_ср, то дифференциальное уравнение теплопроводности шара в сферических координатах запишется:

                                                                  (12.35)

Геометрические и физические условия заданы.

Начальные условия: при τ = 0; J₁ = t - t_ср для всех точек шара.

Граничные условия:

На поверхности шара при r = r₀; .

Из условия симметрии задачи в центре шара при r = 0: .

Решая уравнение (12.35) методом разделения переменных и, подчиняя полученное решение начальным и граничным условиям, после ряда преобразований для Fo ≥ 0,3 получим:

                           (12.36)

Т.к. μ в уравнении (12.36) зависит только от числа Bi, то уравнение температурного поля в общем виде:

Θ = f (Fo, Bi, R).

Для центра шара: Θ_R=0 = f₁ (Fo, Bi)                                                    (12.37)

Для поверхности шара: Θ_R=1 = f₂ (Fo, Bi)                                          (12.38)

Функции, определяемые выражениями (12.37) и (12.38) для различных значений Fo и Bi представлены в виде номограмм.

Аналогично, как для пластины и цилиндра начальная избыточная внутренняя энергия шара:

                                                                    (12.39)

Количество теплоты, которое отдается или воспринимается шаром за промежуток времени от τ = 0 до τ₁, также можно определить по номограмме, которая построена по функции вида: Q/Q₀ = f (Bi, Fo)/