Эквивалентные схемы замещения четырехполюсника

Любой четырехполюсник можно свести к сопротивлениям или проводимостям, соединенным по Т– или П–образной схеме (рис. 3.5). Эквивалентной схемой замещения реального четырехполюсника называется простейший трехэлементный четырехполюсник (Т– или П–образный), имеющий такие же  или A –параметры, как и заданный четырехполюсник.

Три сопротивления Т– или П–схем должны быть рассчитаны с учетом того, что схема замещения должна обладать такими же А -параметрами, какими обладает заменяемый ей четырехполюсник.

Выразим  и  Т–образной схемы через , , используя уравнения, составленные по законам Кирхгофа:

            (3.18)

Подставляя  в выражение для определения  и группируя однородные члены, получим

.

С другой стороны для данной схемы справедлива общая запись уравнений четырехполюсника в А –параметрах:

.

 

 

Приравняв коэффициенты при и , получим А –параметры как функции параметров Т-образной схемы замещения:

        (3.19)

Проведя аналогичные действия, можно получить подобные соотношения для П–образной схемы четырехполюсника:

                 (3.20)

Два четырехполюсника эквивалентны, если у них равны А –параметры. Это следует из уравнений (3.9). Следовательно, если известны А –параметры какого-то четырехполюсника, то его можно заменить на эквивалентную ему Т– или П–образную схемы замещения, если определить параметры этих схем замещения в выражениях (3.19) и (3.20). При этом для Т–образной схемы замещения

.                  (3.21)

Параметры элементов П–образной схемы замещения

.                   (3.22)

Симметричный четырехполюсник

Встречаются такие электрические схемы, у которых наблюдается симметрия параметров относительно входных и выходных выводов. В эквивалентных схемах замещения это приводит к следующему: для Т–схемы ; для П–схемы .

Тогда для Т–схемы

,

для П–схемы

.

Следовательно, для симметричного четырехполюсника . Таким образом, симметричный четырехполюсник характеризуется двумя независимыми параметрами.

Передаточные функции четырехполюсника

Токи и напряжения могут быть выражены через токи и напряжения со стороны входа и выхода с помощью передаточных коэффициентов  и . Передаточная функция – это отношение комплексных амплитуд или комплексных действующих значений электрической величины на выходе и входе четырехполюсника при заданном режиме нагрузки. Выразив эти коэффициенты через А –параметры, получим коэффициент передачи (или передаточную функцию) по напряжению

(3.47)

и коэффициент передачи по току

. (3.48)

Используются и такие передаточные функции как передаточное сопротивление

и передаточная проводимость

.

Каскадное соединение

Пусть в цепной схеме соединения заданы А –параметры четырехполюсника (А _I) и (А _II). Выразим напряжение и ток на входе четырехполюсника заданными напряжениями и токами на выходе последнего четырехполюсника (в данном случае второго). Для первого и второго четырехполюсников справедливо

, (3.49) (3.50)

Подставив значение матрицы  из (3.50) в (3.49), получим

.

Если схема состоит из n четырехполюсников, справедливо равенство

,                       (3.51)

где A _э – эквивалентная матрица, равная произведению n матриц, .

10. Параллельное соединение

При параллельном соединении четырехполюсников (рис. 3.10) напряжения на входе и выходе четырехполюсников равны: , , т.е. являются общими для всех четырехполюсников. Поэтому в качестве системы, описывающей это соединение, следует выбирать систему уравнений в Y –параметрах. Для схемы (рис. 3.9) справедливо

.

Просуммируем эти выражения с учетом того, что , , :

Если параллельно включено n четырехполюсников, то .                       (3.53)

Следовательно, при параллельном соединении четырехполюсников матрица Y –параметров есть сумма матриц Y –параметров отдельных четырехполюсников.

Последовательное соединение

При последовательном вклю­чении четырехполюсников (рис. 3.11) , , т.е. являются общими для всех четырехполюсни­ков. Для математического описания соединения удобно воспользоваться уравнениями четырехполюсника в Z –параметрах:

, .

Просуммируем эти выражения с учетом того, что , :

.

Если в схеме n четырехполюсников включены по последовательной схеме, то

.          (3.54)

Таким образом, при последовательном соединении четырехполюсников матрица Z – параметров эквивалентного четырехполюсника равна сумме матриц Z – параметров отдельных четырехполюсников.

Выражения (3.52), (3.53), (3.54) дают возможность перейти от сложных схем соединения четырехполюсников к схемам, состоящим из одного четырехполюсника с соответствующими параметрами эквивалентных матриц.