Последствия нарушения условия нормальности

Если условие а) не выполнено, то распределение статистики t не является распределением Стьюдента. Однако при справедливости H '₀  и условии б) распределение t при росте объемов выборок приближается к стандартному нормальному распределению Ф(х)= N (x; 0, 1). К этому же распределению приближается распределение Стьюдента при возрастании числа степеней свободы. Другими словами, традиционный метод (критерий Стьюдента) можно использовать для проверки гипотезы H '₀ при больших объемах выборок. При этом вместо таблиц распределения Стьюдента достаточно пользоваться таблицами стандартного нормального распределения Ф(х).

Сформулированное в предыдущем абзаце утверждение справедливо для любых функций распределения F (x) и G (x) таких, что E (X)= E (Y), D (X)= D (Y) и выполнены некоторые условия, обычно считающиеся справедливыми в реальных задачах [6, 18]. Если же E (X) ¹ E (Y), то при больших объемах выборок

P (t < x)» Ф(x - a_mn),        (2)

  где

.          (3)

Формулы (2) - (3) позволяют приближенно вычислять мощность t-критерия (точность возрастает при увеличении т и п).

8. О проверке условия равенства дисперсий

Иногда условие б) вытекает из методики получения результатов наблюдений, например, когда с помощью одного и того же прибора m раз измеряют характеристику первого объекта и п раз-второго, а параметры распределения погрешностей измерения при этом не меняются. Однако ясно, что в постановках задач типа рассмотренной в п. 1 (первая выборка - больные с катаральным аппендицитом, вторая - с флегмонозным) нет основании предполагать априори равенство дисперсий.

Целесообразно ли проверять равенство дисперсий статистическими методами, например с помощью F-критерия Фишера? Этот критерий основан на нормальности распределений результатов наблюдений, от которой неизбежны отклонения (см. п.6), причем в отличие от t-критерия его распределение сильно меняется при малых отклонениях от нормальности [3, 18]. Кроме того, F-критерий отвергает гипотезу D (X)= D (Y) лишь при большом различии выборочных дисперсий. Так, для данных о больных с острым аппендицитом [8] отношение выборочных дисперсий равно 1,95, т.е. существенно отличается от 1. Тем не менее, гипотеза о равенстве теоретических дисперсий принимается на 1% уровне значимости. Следовательно, при проверке однородности применение F-критерия для предварительной проверки равенства дисперсий нецелесообразно.

Итак, в большинстве медико-биологических задач условие б) нельзя считать выполненным.

9. Последствия нарушения условия равенства дисперсий

Если объемы выборок т и п велики, то распределение статистики t описывается с помощью только математических ожиданий Е(Х) и E (Y), дисперсий D (X), D (Y) и отношения объемов выборок:

P(t < x)» Ф (b_mnx-a_mn),        (4)

где a_mn определено формулой (3),

.             (5)

Если b_mn ¹ 1, то распределение статистики t отличается от заданного формулой (2), полученной в предположении равенства дисперсий. Когда b_mn =1? В двух случаях - при m = n и при D (X) = D (Y). Таким образом, при больших и равных объемах выборок требовать выполнения условия б) нет необходимости. Если объемы выборок мало различаются, то b_mn близко 1. 'Так, для данных о больных с острым аппендицитом [8] b? _mn = 0,987, где b? _mn - оценка b_mn, полученная заменой в формуле (5) теоретических дисперсий на выборочные. 

10. Область применимости традиционного метода проверки однородности с помощью критерия Стьюдента

Подведем итоги рассмотрения t-критерия. Он позволяет проверять гипотезу H '₀ о равенстве математических ожиданий, но не гипотезу H ₀ о том, что обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. Классические условия применимости критерия Стьюдента в подавляющем большинстве медико-биологических задач не выполнены. Тем не менее при больших и примерно равных объемах выборок его можно применять. При конечных объемах выборок традиционный метод носит неустранимо приближенный характер.

11. Критерий Крамера равенства математических ожиданий

Вместо критерия Стьюдента предлагаем для проверки H '₀  использовать критерий Крамера [7], основанный на статистике

.             (6)

При справедливости H '₀ и больших объемах выборок распределение статистики Т приближается с помощью стандартного нормального распределения Ф(х), из таблиц которого предлагаем брать критические значения.

При т=п, как следует из формул (1) и (6), t = T. При т ¹ п этого равенства нет. В частности, при s _x ² в (1) стоит множитель (m -1), а в (6)- множитель п.

Если E (X) ¹ E (Y), то при больших объемах выборок

P (T < X)» Ф(x - c_mn),      (7)

где

.          (8)

При т=п или D (X)= D (Y), согласно формулам (3) и (8), a_mn = c_mn, в остальных случаях равенства нет.

Применение критерия Крамера не менее обосновано, чем применение критерия Стьюдента. Дополнительное преимущество - не требуется равенства дисперсий D (X)= D (Y). Распределение статистики Т не является распределением Стьюдента, однако и распределение статистики t, как показано выше, не является таковым в реальных ситуациях.

Распределение статистики Т при объемах выборок т=п=6, 8, 10, 12 изучено нами совместно с Ю.Э.Камнем и Я.Э.Камнем методом статистических испытаний (Монте-Карло). Рассмотрены различные варианты функций распределения F (x) и G (x). Результаты показывают, что даже при таких небольших объемах выборок точность аппроксимации предельным стандартным нормальным распределением удовлетворительна.