Частотный критерий устойчивости Найквиста

 

Частотный критерий устойчивости Найквиста позволяет по виду частотной характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости замкнутой системы, т.е. он применим для замкнутых систем.

Рассмотрим функцию, которая связывает характеристики разомкнутых и замкнутых систем

 

 (6)

где D(p) – характеристический полином замкнутой системы;

A(p) – характеристический полином разомкнутой системы.

При этом степени полиномов A(p) и D(p) одинаковы исходя из условия физической реализуемости системы.

В соответствии со следствием из принципа аргумента

 

 (7)

 

Рассмотрим разные случаи.

Система, устойчивая в разомкнутом состоянии.

Так как разомкнутая система устойчива, то она не содержит корней в правой полуплоскости (т.е. m = 0), для того чтобы и замкнутая система была устойчива, должно выполняться условие:

 

 (8)

 

Графически это обозначает, что годограф вектора W (jw) не охватывает начала координат, а вектора K (jw) – точку с координатами (-1, j0), как показано на рис. 6. Точка с координатами (-1, j0) называется критической.

 

 

 

Рис. 6.

Система, неустойчивая в разомкнутом состоянии.

Так как разомкнутая система неустойчива, то она содержит m корней в правой полуплоскости, для того, чтобы замкнутая система была устойчивой, должно выполняться условие

 

 (9)

 

Графически это обозначает, что годограф вектора K (jw) охватывает точку с координатами (-1, j0) m/2 – раз.

Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автоматического управления устойчива, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой, неустойчивой системы, имеющей m корней в правой полуплоскости, охватывает точку с координатами (–1, j0) m/2-раз.

Иногда по графику трудно определить охватывает ли АФХ критическую точку. В этом случае можно использовать правило переходов. Переходами называются точки пересечения АФХ отрезка оси (-¥.. – 1). Знак перехода определяется по следующему правилу: если фаза убывает – переход отрицательный.

Формулировка критерия Найквиста: Замкнутая система автома-тического управления устойчива, если разность положительных и отрицательных переходов равна m/2, где m – количество корней в правой полуплоскости разомкнутой неустойчивой системы, т.е.

	S    - S = m/2.

                                                                      (10)

 

Пример 8. Для заданной системы (рис. 7) определить условие устойчивости и критический коэффициент усиления.

Определить устойчивость при T₁ = T₂ = 1 c и k_v = 1 c^-1.

 

 

Решение:

1. Определяем передаточную функцию разомкнутой системы

 

 

2. Строим АФХ разомкнутой системы

 

 

При T₁ = T₂ = 1 c и k_v = 1 c^-1 АФХ разомкнутой системы имеет вид

 

 

Расчетные данные приведены в таблице 2, а график АФХ на рис. 8.

Таблица 2

w	0		1		¥
P(w)	-2		-1/2		0
Q(w)	-¥		-2 -1       w=¥      + 0		0

Рис.8

 

Как видно из рисунка (8) и таблицы 2, АФХ разомкнутой системы не охватывает критическую точку, следовательно, замкнутая система, при заданной структуре и параметрах, устойчива.

Определим критический коэффициент усиления из условия: