Районная олимпиада 2012 8 класс

1. Решите уравнение

2. Найдите все целые числа , для которых  делится на .

3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 15 минут?

4. Пароход прошёл 4 км против течения реки и затем ещё 33 км по течению, затратив на всё 1 час. Скорость течения реки 6,5 км/ час. Найдите скорость парохода в стоячей воде.

5. В кучке 2012 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?

 

Районная олимпиада 2012 9 класс

1. Может ли число  делиться на 25 при каком-нибудь натуральном числе ?

2. На острове живут рыцари, которые говорят только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?

3. В школе все учащиеся сидят за партами по двое. У 60% мальчиков сосед по парте тоже мальчик. У 20% девочек сосед по парте тоже девочка. Сколько процентов учащихся в этой школе составляют девочки.

4. Какое число надо вычесть из числителя дроби  и прибавить к знаменателю, чтобы получить ?

5. В окружность данного радиуса R впишите трапецию с данным диаметром  наибольшей площади.

Класс  Районная олимпиада 2012

1. Докажите, что прямая, проходящая через центр правильного шестиугольника, делит его на части, с равными площадями.

2. В теннисном турнире принимают участие 12 участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными 6 игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.

3. На сторонах  и  треугольника  взяты точки , ,  соответственно так, что радиусы окружностей с центрами , , , вписанных в треугольники ,  и , равны между собой. Докажите, что периметры треугольников  и  равны.

4. Может ли сумма 2012 последовательных натуральных чисел быть 2012-ой степенью натурального числа?

5. Решите систему

 

Класс  Районная олимпиада 2012

1. Если  простое число, где  натуральное число, то существует неотрицательное целое число  такое, что

2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

3. Выпуклый четырёхугольник , у которого , вписан в окружность. Зная длину  и угол , вычислите его площадь.

4. У фальшивомонетчика в кошельке 40 внешне одинаковых монет, среди которых две фальшивые. Он знает, что фальшивые монеты весят одинаково и легче настоящих. Одинаково весят и все настоящие монеты. Фальшивомонетчик должен вернуть долг своему другу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь ему отобрать 20 настоящих монет?

5. Решите систему

                                         

 

Решения

 

8.1. Решите уравнение

♦  Так как  то   Ответ. 1.

8.2. Найдите все целые числа , для которых  делится на

♦ Так как  то если  делится на  то 2 делится на . Приравнивая  к делителям числа 2, получим, что в целых числах имеет корни только одно уравнение   Ответ. 0; 1.

8.3. Имеются двое песочных часов на 7 минут и на 11 минут. Как с их помощью измерить интервал времени в 15 минут?

♦ Запустим оба песочных часов. Через 7 минут начинаем отсчёт времени. Через 4 минуты перевернём вторые часы. Через 11 минут песок в них перетечёт вниз. 4 +11 = 15.

 

8.4. Пароход прошёл 4 км против течения реки и затем ещё 33 км по течению, затратив на всё 1 час. Скорость течения реки 6,5 км/ час. Найдите скорость парохода в стоячей воде.

♦ Если скорость парохода, то   Ответ.  км/ час.

 

8.5. 8.5. В кучке 2014 камешков. Двое играющих поочерёдно берут из кучки камешки, каждый не менее одного и не больше трёх. Выигрывает тот, кто берёт последний камешек. Кто выиграет при правильной игре: начинающий или его партнёр?

♦ Ответ. Выигрывает начинающий. Тактика основана на том, что число 2012 делится на 4. Начинающий первым ходом берёт 2 камешка. Если второй взял один камешек, то он берёт 3. Если второй взял 2 камешка, то он берёт 2. Если второй взял 3 камешка, то он берёт 1. Настанет момент, когда второму камешек не достанется, а значит он проиграл.

9.1. Может ли число  делиться на 25 при каком-нибудь натуральном числе ?

♦ Если , то  не делится на 5 и тем более на 25.

Если , то  делится на 5, но не делится на 25.

Если , то  не делится на 5 и тем более на 25.

Если , то  не делится на 5 и тем более на 25.

Если , то  не делится на 5 и тем более на 25.

Ответ. При любом натуральном числе  число  не делится на 25.

 

9.2. На острове живут рыцари, которые говорят только правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил троих островитян и спросил каждого из них: «Сколько рыцарей среди твоих спутников?». Первый ответил: «Ни одного». Второй сказал: «Один». Что сказал третий?

♦ Ответ. Один. Если встретились 3 лжеца, то оба ответа: «Ни одного». Если встретились 3 рыцаря, то оба ответа: «Два». Если встретились рыцарь и 2 лжеца, то оба ответа: «Ни одного». Если встретились 2 рыцаря и лжец, то оба ответа соответствуют факту.

 

 

9.3. В школе все учащиеся сидят за партами по двое. У 60% мальчиков сосед по парте тоже мальчик. У 20% девочек сосед по парте тоже девочка. Сколько процентов учащихся в этой школе составляют девочки.

♦ Ответ.  Мальчиков сидят с девочками 100% – 89% = 40% от числа мальчиков  Девочек с мальчиками 100% – 20% = 80% от числа девочек  Числа  и  равны, отсюда  Мальчиков в 2 раза больше. Девочки составляют одну треть от общего числа учащихся.

9.4. Какое число надо вычесть из числителя дроби  и прибавить к знаменателю, чтобы получить ?

♦ Ответ. 437. По условию сумма 1000 числителя и знаменателя не изменится. Чтобы получить  надо отнять от числителя 437 и соответственно прибавить к знаменателю.

 

9.5. В окружность данного радиуса R впишите трапецию с данным диаметром  наибольшей площади.

♦ А н а л и з. Пусть трапеция  удовлетворяет условию задачи,  На прямой  за точкой  возьмём точку  для которой  Так как трапеция вписана в окружность, то она равнобокая;  и  треугольник  равнобедренный и площади треугольника  и трапеции  равны. Нетрудно доказать, что площадь треугольника  наибольшая, если угол  прямой. Поэтому

П о с т р о е н и е. Строим хорду  На окружности берём точку  для которой   На окружности берём точку  для которой  и  параллельны. Четырёхугольник  искомая трапеция.

10.1. Докажите, что прямая, проходящая через центр правильного шестиугольника, делит его на части, с равными площадями.

♦ Если прямая при этом проходит и через вершины, то площадь каждой из частей составляет половину площади шестиугольника. Если прямая не проходит через вершины, то вместе с диагональю она отсекает от обеих частей равные треугольники. Следовательно, обе части разрезаются на соответственно равные фигуры, а значит площади частей равны.

10.2. В теннисном турнире принимают участие 12 участников. В первом круге турнира каждый участник играет только один раз, так что оказываются сыгранными 6 игр парами игроков. Найдите количество способов разбиения на пары для игры в первом круге.

♦ Ответ. . Перенумеруем игроков. Количество способов выбрать пару для первого игрока 11. Если пара с участием первого игрока выбрана, скажем, первый и второй, то для третьего игрока выбрать пару уже существует 9 способов и т. д. Надо разобраться теперь с тем, что числа 11, 9, 7, 5, 3 надо перемножать.

 

10.3. На сторонах  и  треугольника  взяты точки , ,  соответственно так, что радиусы окружностей с центрами , , , вписанных в треугольники ,  и , равны между собой. Докажите, что периметры треугольников  и  равны.

♦ Обозначим через  и  – точки касания первых двух окружностей с , через  – точки касания этих окружностей с  и  соответственно, через  и  периметры треугольников  и . Тогда , т. е.  Сложив эти равенства, получим   

10.4. Может ли сумма 2012 последовательных натуральных чисел быть 2012-ой степенью натурального числа?

♦ Ответ. Нет. Если  то  Отсюда,   В равенстве  левая часть делится на небольшую степень 2, а правая на существенно большую. Противоречие.  

10.5. Решите систему

♦ Преобразуем систему

После перемножения уравнений системы получим , откуда   Ответ.

11.1. Если  простое число, где  натуральное число, то существует неотрицательное целое число  такое, что

♦ Предположим, что это не так. Если  не является степенью двойки, то у этого числа есть нечётные делители, отличные от 1. В общем виде такое число представимо в виде  Тогда  Оба сомножителя отличны от 1, что означает, что число  составное, а по условию оно простое. Противоречие. Наше предположение неверно. У числа нет нечётных делителей, отличных от 1. А таким свойством обладают только натуральные степени двойки.

       Замечание. Задача входит в базу ЕГЭ. Для решения этой и некоторых других задач ЕГЭ надо заметить, что  и увидеть продолжение этого ряда формул для нечётных показателей.

 

11.2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции

♦ Можно применить метод введения дополнительного угла. Если  то  Из неравенств  следует, что

Ответ. наименьшее значение, наибольшее.

 

 

11.3. Выпуклый четырёхугольник , у которого , вписан в окружность. Зная длину  и угол , вычислите

♦ На прямой  за точкой  сделаем засечку , для которой  Тогда  по двум сторонам и углу между ними   Другими словами.  получается поворотом треугольника  вокруг точки  по часовой стрелке на угол . Поэтому площади четырёхугольника  и треугольника  равны. Ответ.

11.4. У фальшивомонетчика в кошельке 40 внешне одинаковых монет, среди которых две фальшивые. Он знает, что фальшивые монеты весят одинаково и легче настоящих. Одинаково весят и все настоящие монеты. Фальшивомонетчик должен вернуть долг своему другу. Как с помощью двух взвешиваний на чашечных весах без гирь ему отобрать 20 настоящих монет?

♦ Образуем 4 кучки по 10 монет. Положим на чаши монеты первой и второй кучек. Если чаши уравновесятся, то либо все взятые монеты настоящие, либо в каждой из первой и второй чаш по одной фальшивой монете. Во втором взвешивании положим на чаши весов монеты второй и третьей кучек. Если чаши уравновесятся, то в них все монеты настоящие и он нашёл 20 настоящих монет. Если нет, то в третьей и четвёртой кучках все монеты настоящие, а в первой и второй чаше по одной фальшивой.

11.5. Решите систему

                                         

♦ Сложив уравнения, получим  Откуда,  или  Осталось решить две системы

и

Ответ.