Сумма вероятностей двух противоположных событий

                                 .                                            

Событие А независимо от В, если вероятность появ-ления события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Если события А и В независимы (они совместны), то вероятность появления и события А, и события В равна:

                             ,                                               

а в общем виде        .                                         

В урне два кубика – черный и белый и два шарика – черный и белый. Вероятность появления черного кубика равна произведению вероятностей появления черного цвета и кубика, т.е. 1/2×1/2=1/4.       

Из формулы видно, например, что если событие А (появление максимальной ветровой нагрузки) и событие В  появление максимальной снеговой нагрузки) – независимы, то вероятность одновременного появления А и В (т.е. максимумов нагрузок) меньше вероятности появления одного из событий (максимумов нагрузки) .

Вероятность  тем меньше, чем меньше  и .                                                                                       А если А и В зависимы, то это учитывается условной вероятностью появления одного из их при появлении другого. При последовательным соединении вероятность неразрушения последовательной системы:

,

где , i =1, 2, 3 – вероятности неразрушения i ‑ го элемента системы;  – событие, состоящее в неразрушении i -го элемента системы.

Пример последовательного соединения: статически определимая сис-тема, так как разрушение всей системы происходит при разрушении хотя бы одного из элементов, таким образом, вероятность неразрушения всей системы меньше вероятности неразрушения любого ее отдельного элемента.

 При параллельном соединении вероятность разрушения параллельной системы:

,                     

где  – вероятности разрушения i -го элемента системы.

Вероятность неразрушения параллельной системы:

,                         

или в общем виде:                  .                   

Пример параллельного соединения: статически неопределимая система, так как разрушение всей системы происходит при разрушении всех избыточных и еще одной связей. Таким образом, вероятность неразрушения всей системы больше вероятности неразрушения любого ее отдельного элемента. Однако в действительности в статически неопределимой системе вероятности разрушения элементов системы не независимы, так как разрушение одного элемента из-за перераспределения усилий приводит к изменению вероятностей разрушения остальных элементов.

Например, при диаграмме Прандтля «условное» разрушение одного элемента статически неопределимой системы (т.е. напряжение в этом элементе при увеличении N остается постоянным и равным ) в меньшей степени приводит к перераспределению усилий, а, следовательно, и к изменению вероятностей разрушения. Таким образом, статически неопре-делимая система со стержнями, работающими по диаграмме Прандтля, больше подходит в качестве примера для параллельной системы.

Если случайные события А и В совместны (и независимы), то вероятность появления или А или В:

                 ,                                    

                    .                                  

Если случайные события А и В зависимы (и совместны) и вероятности их появления Р(А) и Р(В), то вероятность совмещения событий А и В (произойдет и А и В):

 ,

где  – условная вероятность, т.е. вероятность появления события В, при условии, что событие А произошло. Аналогично                 

                                 .                    

Например, в урне два черных и два белых шара. Событие А – появление белого шара с первого раза, событие В – появление белого шара со второго раза. Вероятность появления белого шара два раза подряд определяется формулой:

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А) =1/2·1/3=1/6.

Из  приведенных формул можно получить:

                            ,                            

где  – априорная вероятность появления события А, определенная до того как стала известна информация о событии В;  – апостериорная вероятность появления события А, основанная на той информации, что А и В произошли, но мы определяем вероятность того, что перед В было А.

Если А и В независимы, то  и наоборот.

Пусть имеется n несовместных событий  с вероятностями их появления  и пусть  – условные вероятности осуществления события В с одним из n событий . То есть события В и А ₁, В и А ₂,…, В и А _n – зависимы и совместны. Тогда вероятность осуществления события В:

.