Проверка гипотез о средней и о доле

В статистической практике наиболее часто проверяются два вида гипотез о средних величинах:

1) гипотеза о равенстве средней величины установленному нормативу;

2) гипотеза о равенстве средних значений признака двух       совокупностей.         

Предположим, что проверке подлежит гипотеза о среднем значении признака в генеральной совокупности H_о : . Альтернативная гипотеза может быть сформулирована следующим образом: H₁ : , H₁ : или H₁: .

В качестве критерия в этом случае целесообразно использовать нормированное отклонение выборочной средней от заданной величины:

где  – средняя квадратическая ошибка выборочной средней, то есть средняя

         ошибка выборки.

При большом объёме выборки (  ≥ 30)  рассчитывается по формуле

, а при n<30 – по формуле .

Если полученное по результатам обследования расчётное значение t −   статистики меньше табличного, т.е. t_расч < t_табл. , то гипотеза не отклоняется. В противном случае нулевую гипотезу следует отклонить.

Например. При оценке влияния изменений в налоговой политике на платёжеспособность предприятий одного из регионов установлено, что до указанных изменений средний коэффициент покрытия по этим предприятиям соответствовал нормативу, равному 2. После внесения изменений в действующую налоговую систему было проведено выборочное обследование 49 предприятий региона, в результате которого установлено, что средний коэффициент покрытия на них составил 1,7 при среднем квадратическом отклонении 0,6.

Выдвинутая нулевая гипотеза состоит в том, что изменения в проводимой налоговой политике существенно не повлияли на платёжеспособность предприятий региона, то есть коэффициент покрытия остался на прежнем уровне H_о :  . В качестве альтернативной может быть рассмотрена гипотеза о том, что указанные изменения повлияли на степень платёжеспособности предприятий:

Для проверки выдвинутой гипотезы примем уровень значимости . Так как вероятность Р , а n>30, то для значения интеграла вероятностей Лапласа  находим табличное значение t-статистики: t=1,96 (Приложение Г).

t_расч.= .

Так как t_{расч >} t_табл., то выдвинутая гипотеза отклоняется, т.е. изменения в налоговой системе повлияли на платёжеспособность предприятий региона.

Для того чтобы сделать более определённый вывод о характере этих изменений, альтернативную гипотезу сформулируем следующим образом: изменения в налоговой системе привели к снижению платёжеспособности предприятий региона, т.е. H₁ : . Зададим для этого случая уровень значимости α=0,05. Вероятность Р( -tμ)=0,05, следовательно, значение интеграла вероятностей Лапласа в пределах от – t до 0 равно

,

а в пределах от – t до + t соответственно 0,45 · 2 = 0,9. По таблице находим для данной вероятности значение t – статистики: t=1,65. Так как t_расч > t_табл. (3,5 > 1,65), то нулевая гипотеза должна быть отклонена, т.е. с вероятностью 0,95 можно считать, что изменения в налоговой системе привели к снижению платёжеспособности предприятий региона.

Если для проверки выдвинутой гипотезы используется малая выборка, то значение t − статистики определяется с помощью распределения Стьюдента.

Например. Часовая выработка забойщика при добыче угля в шахте по норме составляет 400 кг. Фактическая выработка соответствовала норме. При переходе в новый забой условия работы забойщиков усложнились. Для проверки обоснованности нормы в новых условиях был проведён учёт работы 9 забойщиков. Их средняя часовая выработка составила 388 кг с ²=171.

Выдвигается гипотеза о том, что норму выработки пересматривать не нужно. Следовательно, Н =400 кг. Проверку этой гипотезы проведём с 5%-м уровнем значимости. Поскольку выборка малая, отыскиваем t в таблице распределения Стьюдента при доверительной вероятности 0,95 (1 − 0,05) с числом степеней свободы  (Приложение Д). Табличное значение t_табл. .

Расчётное значение t_расч вычисляем по приведённой выше формуле:

t_расч.= .

Поскольку t_расч >  t_табл. (2,6 >2,3), выдвинутая гипотеза отвергается. Норма выработки в новых условиях должна быть пересмотрена, так как производительность труда в усложнённых условиях существенно ниже нормального.

Гипотеза о средних может принимать форму гипотезы о связи признаков, если сопоставляются две средние величины, одна из которых была получена при условии действия испытуемого фактора, а другая без него.

Одну из средних принимают за гипотетическую, а другую − за эмпирическую. Нулевая гипотеза может быть сформулирована следующим образом: Н₀= . Альтернативная гипотеза  − Н₁: . Для проверки H_о проводится выборочное обследование, при котором объём из первой выборки составляет _, а из второй  − . Обозначим соответствующие значения средних в этих выборках через ₁ и ₂, дисперсии и . В качестве критерия при проверке этой гипотезы принимается t-статистика, расчётное значение которой по результатам выборочного обследования определяется по формуле t_расч.= ,

где   − стандартная ошибка разности выборочных средних.

Стандартная ошибка разности двух выборочных средних имеет вид

.

Тогда t_расч. примет вид t_расч.= .

Сравнивая расчётное значение t-статистики с табличным (Приложение Д) при заданном уровне значимости, можно сделать вывод о необходимости согласиться с выдвинутой гипотезой или отклонить её.

Например. Для оценки влияния формы собственности на платёже-способность предприятий отрасли проведено выборочное обследование частных и государственных предприятий, в результате которого получены данные, приведённые в таблице 2.4.1.

В качестве нулевой выдвинем гипотезу о независимости степени платёжеспособности предприятий от формы собственности, то есть о равенстве коэффициентов покрытия на предприятиях указанных форм собственности: Н_{0: .} Альтернативной гипотезой будет Н_{0: .} При проверке выдвинутой гипотезы примем уровень значимости α=0,05.

 

Таблица 2.4.1  − Выборочное обследование частных и государственных предприятий отрасли

 

Форма собственности	Число обследованных предприятий ni	Средний коэффициент покрытия	Дисперсия в выборочной совокупности
Частная Государственная	16 10	1,8 1,2	0,25 1,18

 

Определим по формуле расчётности значение t-статистики:

t_расч.= .

Табличное    значение     найдём  на  основе      распределения    Стьюдента при α=0,05 и числе степеней свободы  (Приложение Д) t_табл.()=2,063 9. Расчётное значение t-статистики меньше табличного, следовательно, с вероятностью 0,95 можно считать, что платёжеспособность предприятий не зависит от принятой на них формы собственности.

Выдвинутую гипотезу можно проанализировать иначе. Зная величину среднеквадратической ошибки разности двух выборочных средних , можно с заданной вероятностью указать предел возможных расхождений двух выборочных средних =t где t-табличное значение критерия Стьюдента.

Например. Воспользуемся данными предыдущего примера (таблица 2.4.1.). Определяем среднеквадратическую ошибку разности двух выборочных средних:

.

Предельная ошибка разности двух выборочных средних:

=2,06·0,33=0,680

t_табл()=2,06 (Приложение Д).

Поскольку фактическая разность двух средних составляет , то нулевая гипотеза подтверждается (0,6<0,68) и можно утверждать с вероятностью 0,95, что платёжеспособность не зависит от формы собственности предприятий.

Аналогично два вида гипотез могут проверены и для доли:

1) гипотеза о равенстве доли единиц, обладающих определённым признаком с нормативом;

2) сравнение долей единиц, обладающих определённым признаком, в двух совокупностях.

Порядок гипотез первого вида аналогичен порядку, приведённому для средней, то есть проверяется гипотеза , где  − доля единиц, обладающих изучаемым признаком в генеральной совокупности;  –  норматив. Альтернативными могут быть гипотезы трёх видов:

1) ; 2) ; 3) .

В качестве критерия может быть принято значение t-статистики. Расчётное значение величины t определяется по формуле ,

где w – доля изучаемого признака в выборке;

μ_w – средняя ошибка выборки для доли.

Для выборки большого объёма ,

для малой выборки .

Табличное значение t-статистики как для доли, так и для средней, находится на основе интеграла вероятностей Лапласа (Приложение Г) или по распределению Стьюдента (для малой выборки) (Приложение Д).       

Например. Партия изделий принимается, если доля бракованных не превышает 2%. Среди случайно отобранных 1 000 изделий 40 оказались бракованными. Можно ли при уровне значимости 0,01 принять партию?

Выдвигается нулевая гипотеза . В качестве конкурирующей принимается альтернативная гипотеза .

Находим относительную частоту брака в выборке: w= .

Рассчитываем среднюю ошибку выборки для доли:

 = = =0,006 2.

Определим = =3,23.

Табличное значение t-статистики находим на основе интеграла вероятностей Лапласа (Приложение Г). Так как вероятность  (), то Ф(t)= , а значение t_табл.=2,68.

Поскольку t_расч.> t_табл, то выдвинутая гипотеза отклоняется, т.е. партию изделий принять нельзя.

При сравнении долей единиц, обладающих определённым признаком, в двух совокупностях применяется схема, аналогичная приведённой ранее для проверки соответствующей гипотезе о средней.

В качестве критерия используется t-статистика. Расчётное значение критерия определяется по формуле ,

где  и  – доля единиц, обладающих изучаемым признаком в                       сравниваемых выборках;

– стандартная ошибка выборки.

Стандартная ошибка выборки может быть рассчитана по формуле

,

где  –  доля признака в генеральной совокупности;

 и − объём каждой их двух выборок.

Так как при проверке нулевой гипотезы величина  неизвестна, то можно использовать её оценку, полученную по результатам выборочного обследования:

,

где  и – частота появления изучаемого признака в каждой из двух выборок.

Сравнивая расчётное и табличное значение t-статистики делают вывод об отклонении или принятии нулевой гипотезы. Если t_расч.>t_табл. гипотезу отклоняют, и наоборот.

Например. По результатам выборочного обследования домохозяйств двух областей Дальневосточного региона были получены данные о доле доходов от предпринимательской деятельности в источниках доходов домохозяйств (таблица 2.4.3).

 

Таблица 2.4.3 − Выборочное обследование домохозяйств

 

Номер области	Количество обследованных домохозяйств (в тыс.шт.),	Удельный вес доходов от предпри-нимательской деятельности (%),
1	15,2	7,0
2	13,5	7,5

 

Можно ли считать несущественными различиями в доле доходов от предпринимательской деятельности в источниках доходов домохозяйств двух областей?

Нулевая гипотеза заключается в том, что отсутствуют существенные различия в доле новых видов доходов, традиционных для рыночной экономики (). Тогда в качестве оценки генеральной доли будет использоваться средняя взвешенная из долей, полученных по результатам выборочных обследований каждой области:

,

то есть оценка доли дохода от предпринимательской деятельности в генеральной совокупности составляет 7,24%. Ошибка разности двух долей при справедливости нулевой гипотезы будет рассчитываться по формуле

= .

Таким образом, средняя квадратическая ошибка разности двух выборочных долей составляет 0,305%.

Поскольку обе выборки достаточно большого объёма, можно восполь-зоваться таблицей нормированной функции Лапласа (Приложение Г) для определения значения коэффициента доверия t при вероятности 0,95 и 0,99. Соответствующие этим значения t_табл. равна 1,96 и 2,58.

Расчётное значение t-критерия, равное отношению разности двух выборочных долей, составит.

= .

Поскольку расчётное значение t_расч.<t_табл. как при α=0,05 и при α=0,01, нулевая гипотеза не отвергается и делается заключение о несу-щественности различий доли доходов от предпринимательской деятельности в источниках доходов домохозяйств двух областей.

Можно было определить и максимальную возможную величину расхождений двух выборочных долей с заданной вероятностью:

.

При вероятности 0,95 =1,96·0,003 05=0,005 98. При вероятности 0,99 =2,58·0,003 05=0,007 87. Поскольку фактическая разность двух выборочных долей 0,005 (0,075-0,070) меньше найденных предельных ошибок, можно принять нулевую гипотезу.

Таким образом, оба варианта проверки гипотезы о несущественности различий доли доходов от предпринимательской деятельности по результатам выборочных обследований в двух областях доли один и тот же результат.

 

Задачи

10.1. Крупная торговая фирма желает открыть в новом районе города филиал. Известно, что в прошлом году фирма работала прибыльно при еженедельном среднем доходе жителей района 14 700 рублей. Цена на продукцию фирмы в связи с инфляцией возросла. Для проверки работы фирмы в новых условиях было проведено выборочное обследование 100 жителей района. Их средний еженедельный доход составил 4 750 рублей с дисперсией  400.  Определите,  будет  ли  фирма  работать  прибыльно, если уровень  дохода  жителей  района  останется  на  уровне  прошлого  года (a = 0,01).

 

10.2. Предположим, что выборочное обследование восьми студентов академии показало, что на подготовку к контрольной работе по статистике они затратили следующее количество часов: 8,5; 8,0; 7,8; 9,0; 7,2; 6,2; 8,4; 6,6. Оцените выборочные средние затраты времени и постройте доверительный интервал для среднего значения признака в генеральной совокупности, приняв доверительную вероятность равной 0,95.

 

10.3. На предприятии выборочно проверен стаж работы у 12 мужчин и 8 женщин. Результаты наблюдения следующие:

Группа рабочих	Объём выборки	Средний стаж работы	Среднее квадратическое отклонение
Мужчины Женщины	12            8	14    11	3            2

Определить, можно ли считать расхождения в значениях выборочной средней стажа работы у мужчин и женщин случайным (на уровне значимости a = 0,05).

 

10.4. Предположим, на предприятии из коллектива рабочих выборочно обследовано 25 мужчин и 25 женщин. Средняя месячная заработная плата мужчин оказалась равна 24 830 руб. при среднем квадратическом отклонении 200 руб., а у женщин 23 780 руб. при среднем квадратическом отклонении 300 руб. Определить, можно ли считать расхождение между средней заработной платой мужчин и женщин случайным при a = 0,05.

10.5. Обработка детали № 427 производится в цехе на двух однотипных станках. При выборочном наблюдении (механический отбор единиц) были зарегистрированы следующие затраты на обработку детали:

Затраты времени на одну деталь, мин	Число деталей
	станок № 1	станок № 2
1,5 – 2,5	7	-
2,5 – 3,5	10	12
3,5 – 4,5	15	17
4,5 – 5,5	8	11
Итого	40	40

На основе приведённых данных следует определить, существенно ли расхождение в затратах времени на обработку одной детали для этих двух станков, гарантируя результат с вероятностью 0,95.

 

10.6. На автотранспортном предприятии известны следующие результаты выборочного обследования пробега автомобильных шин одного типоразмера в городских условиях при работе водителей различной квалификации.

На основе приведённых данных следует определить, существенно ли расхождение среднего пробега автомобильных шин для двух групп, гарантируя результат с вероятностью 0,954.

Пробег автомобильных шин, тыс. км.	Число шин
	при работе водителей  I класса	при работе водителей II класса
50 – 52	2	10
52 – 54	6	26
54 – 56	18	10
56 – 58	10	8
Продолжение таблицы
58 – 60	4	6
Итого	40	60

 

10.7. Расход сырья на одно изделие случаен. Результаты наблюдений таковы:

	Старая технология			Новая технология
Расход сырья	304	307	308	303	304	306	308
Число изделий	1	4	4	2	6	4	1

Предположим, что расход сырья как при старой, так и при новой технологии имеет нормальное распределение, выясните, влияет ли технология на средний расход сырья на одно изделие a = 0,05.   

10.8. По результатам опроса жителей Приморского и Хабаровского краёв о доле доходов, потраченных на покупку валюты, были получены следующие данные:

	Количество опрошенных, чел.	Удельный вес доходов, потраченных на покупку валюты, %
Хабаровский край	1 500	9,2
Приморский край	2 000	8,0

Можно ли считать существенными различия в доле доходов, потраченных на покупку валюты, жителями Приморского и Хабаровского краёв с вероятностью 0,95.

10.9. По результатам выборочного обследования жителей Хабаровского края были получены данные о доле социальных групп с наибольшим и наименьшим среднедушевым доходом в месяц:

Группы населения со среднедушевым доходом в месяц, руб.	Число человек	Доля групп в общей численности населения, %
До 5 000/	155	1,5
Свыше 30 000/	6 795	45,2

Можно ли при уровне значимости 0,1 считать, что расхождение доли населения, имеющего наибольший и наименьший уровень среднедушевого дохода несущественно?

10.10. Обработка детали № 318 производится в цехе на 2 станках, имеющих различную производительность

№ станка	№ 1	№ 2
Число проверенных деталей, шт.	200	120
В том числе брак, шт.	4	3

Можно ли считать несущественными различия в доле брака для двух станков (a = 0,05).

 

10.11. По результатам выборочного обследования домохозяйств двух городов были получены следующие данные о доле расходов на коммунальные услуги:

Город	Количество обследованных домохозяйств	Удельный вес расходов на коммунальные услуги
1	10	20,5
2	12	25,0

Можно ли считать существенными различия в доле расходов на коммунальные услуги в расходах домохозяйств двух городов (a = 0,01).

 

Дисперсионный анализ

Основным способом проверки гипотезы о связях признаков служит дисперсионный анализ. Заключение об отсутствии или наличии связи делается при этом на основе -критерия. Критерий F представляет собой отношение выборочных дисперсий и , которые представляются как оценки одной и той же генеральной дисперсии ²: .  

Распределение дисперсионного отношения F зависит от числа степеней свободы   и _.  Построены таблицы критических значений величины F при разном числе степеней свободы для разных уровней значимости  (Приложение Е). Таблицей F-распределения можно пользоваться и при малых и при больших выборках. За S²₁ берётся большая из дисперсий_, т.е. S²₁ > S²₂, соответственно  – число степеней свободы S²₁ ,  – число степеней свободы S²₂ . Минимальное значение F=1 соответствует случаю равенства дисперсий, чем значительнее расхождение между дисперсиями, тем больше величина F.

Сущность дисперсионного анализа заключается в расчленении общей вариации на части и в сравнении полученных частных дисперсий. Испытуемая гипотеза при этом состоит в том, что если данные каждой части представляют случайную выборку из нормально распределённой генеральной совокупности, то величина всех частных дисперсий должны быть пропорциональны своим степеням свободы и каждую из них можно рассматривать как приближённую оценку генеральной дисперсии. Нулевая гипотеза предполагает случайность различия сравниваемых величин S²₁ и S²₂ . Опровержение нулевой гипотезы служит доказательством действия того фактора, на основе которого производилась разбивка данных.

Очевидна связь дисперсионного анализа с методом аналитических группировок. При изучении связей признаков с помощью аналитических группировок совокупность разбивается на группы по значениям признака-фактора и полагают, что различие средних результативного признака в группах определяются действием данного фактора. Задача состоит в оценке существенности различий между групповыми средними результативного признака, когда выделены лишь две группы, эта задача решается с помощью t - критерия. Если же число признаков больше двух, то существенность различия выделенных частей (групп) доказывается с помощью дисперсионного анализа на основе F-критерия. В зависимости от количества учтённых факторов, действующих на результативный признак, дисперсионный анализ подразделяется на однофакторный и многофакторный.

В случае выделения групп по одному фактору (однофакторная аналитическая группировка) общая вариация результативного признака – общая сумма квадратов отклонений индивидуальных значений от его общего среднего значения – может быть разложена на две составные части − вариацию, обусловленную действием факторного признака на результативный (факторная дисперсия) и вариацию, обусловленную действием всех прочих причин (остаточная дисперсия).

 Сумма квадратов отклонений внутри групп определяется следующим образом:

где  – значение результативного признака -й единицы в -й 

          группе;        

     − номер единицы, ;

     − номер группы, ;

  − численность -й группы;

  _j  − средняя величина результативного признака в -й группе;

  – общая средняя результативного признака.

Если обозначить суммы квадратов отклонений буквой , получим равенство: _..

На основе разложения дисперсии в соответствии с гипотезой отсутствия различий между группами могут быть получены три оценки генеральной дисперсии, пропорциональные степеням свободы: на основе общей вариации, межгрупповой (факторной) и внутригрупповой (остаточной). Число степеней свободы равно:

1) для общей вариации ;

2) для вариации между группами (межгрупповая вариация)

(  – число групп);

3) для вариации внутри групп: .

Как и суммы квадратов отклонений, числа степеней свободы связаны между собой равенством: . Рассчитываем дисперсии путём деления сумм квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы. При этом получаем три оценки генеральной дисперсии ^{2:    ; ; .}

 Поскольку  измеряет вариацию результативного признака, связанную с изменением фактора, по которому произведена группировка, а – вариацию, связанную с изменением всех прочих факторов, срав-нение этих величин, рассчитанных на одну степень свободы, даёт возможность оценить существенность влияния признака-фактора на результативный признак с помощью -критерия: . Эта запись предполагает, что _. Если , можно утверждать, что нуль-гипотеза не соответствует фактическим данным, влияние признака-фактора является существенным или статистически значимым.

Например. По выборке 20 заводов отрасли установить, оказывает ли существенное влияние фондооснащённость предприятий на выпуск продукции (таблица 2.5.1).

 

Таблица 2.5.1 − Расчётные данные

 

Стоимость основных производственных фондов, млн руб.	Объём продукции, млн руб., уi	уi -	(уi - )2
2,8	2,8	- 2,34	5,4756
2,2	2,5	- 2,64	6,9696
1,0	1,6	- 3,54	12,5316
2,0	0,7	- 4,44	19,7136
1.9	0,9	- 4,24	17,9776
3,1	2,5	- 2,64	6,9696
3,2	2,8	- 2,34	5,4756
4,0	5,6	0,46	0,2116
3,8	4,4	- 0,74	0,5476
3,5	3,5	- 1,64	2,6896
3,4	3,6	- 1,54	2,3716
3,9	4,6	- 0,54	0,2916
4,8	6,4	1,26	1,5876
4,1	4,3	- 0,84	0,7056
3,2	1,3	- 3,84	14,7456
5,9	14,6	9,46	89,4916
6,5	9,4	4,26	18,1476
7,0	13,6	8,46	71,5716
6,7	10,0	4,86	23,6196
5,1	7,6	2,46	6,0516
Итого	102,7	-	307,1460

 

Испытуемой является гипотеза об отсутствии связи, её можно сформулировать как  или .

Решение:

1. Находим среднее значение результативного признака

.

2. Определяем общую сумму квадратов отклонений индивидуальных значений результативного признака – объём продукции от его общей средней:

3. Рассчитаем сумму квадратов отклонений, вызванных действием данного фактора (таблица 2.5.2):

 

Таблица 2.5.2 − Расчёт факторной дисперсии

 

Стоимость основных производственных фондов, млн руб., (х)	Число заводов (nj)	∑уij		-	( - )2	( - )2nj
1 − 3	5	8,5	1,70	- 3,435	11,7992	58,9961
3 − 5	10	39,0	3,90	- 1,235	1,5252	15,2523
5 − 7	5	55,2	11,04	5,905	34,8690	174,3451
Итого	20	102,7	5,135	-	-	248,5935

 

D_факт.=248,5935.

4.Определяем остаточную сумму квадратов отклонений

D_ост=D_общ-D_факт=307,146-248,594=58,552.

5.Число степеней свободы составит:

- для общей суммы квадратов отклонений  df_общ=n-1=20-1=19;

- для суммы квадратов отклонений за счёт фактора df_факт.=m-1=3-1=2;

- для остаточной суммы квадратов отклонений df_ост=n-m=20-3=17.

6. Рассчитаем дисперсии факторную и остаточную на одну степень свободы:

7. Определяем F-критерий расчётный .

8. Находим табличное значение F_табл. (α = 0,05; df₁= m-1 = 3-1 = 2;

df₂= n-m = 20-3 = 17) (Приложение Е). F_табл.=3,59.

F_расч. F_табл., следовательно фондооснащённость предприятий сущест-венно влияет на выпуск продукции.

Обобщая этапы однофакторного дисперсионного анализа составим таблицу (таблица 2.5.3).

 

Таблица 2.5.3 − Однофакторный дисперсионный анализ

 

Вариация	Сумма квадратов отклонений, D	Степень свободы, Df	Средний квадрат отклонений, S2	Величина F-критерия Fрасч.
Между группами		m-1	S2факт
Внутри групп		m-n	S2ост
Общая		n-1	-	-

 

Рассмотрим решение двухфакторного комплекса

Разложение общей суммы квадратов отклонений производится следующим образом

где i – номер единицы совокупности, i=1…, n;

j – номер группы по признаку х, j=1, …, m;

k – номер группы по признаку z, k=1,…,p.

Обозначив суммы квадратов отклонений через D, перепишем предыдущее уравнение ,

где D_{факт  –} вариация у под влиянием фактора х;

 D_факт – вариация у, обусловленная взаимодействием факторов z;

 D_факт  – вариация у, обусловленная взаимодействием факторов x и z;

 D_ост – остаточная вариация у;

Общая факторная вариация у под влиянием обоих факторов может быть записана: ,

Число степеней свободы для каждой суммы квадратов отклонений составит: ;