Теорема Гаусса в дифференциальной форме

Теорема Гаусса в интегральной форме

С помощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя определить, как связан исток линий вектора электрического смещения в данной точке поля с плотностью свободных зарядов в этой же точке. Чтобы узнать это, рассмотрим дифференциальную форму теоремы Гаусса. Для этого разделим обе части уравнения интегральной формы записи теоремы Гаусса на одну и туже скалярную величину V (объем), находящийся внутри замкнутой поверхности:

.

Это выражение справедливо для V любой величины, устремим V к 0.

Предел отношения потока вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, к объему называют дивергенцией вектора электрического смещения.

Или вместо слова «дивергенция» употребляют термины «расхождение».

,

где – объемная плотность заряда:

.

Дивергенция векторного поля

Продолжим изучение характеристик векторных полей.

Определение 23. Дивергенцией векторного поля A = { A_x, A_y, A_z }, где

A_x, A_y, A_z – функции от x, y, z, называется

. (107)

Замечание 1. Из определения видно, что дивергенция является скалярной функцией.

Замечание 2. Слово «дивергенция» означает «расходимость», так как дивергенция характеризует плотность источников данного векторного поля в рассматриваемой точке.

Рассмотрим формулу Гаусса-Остроградского с учетом определений потока и дивергенции векторного поля. Тогда в левой части формулы (67) стоит тройной интеграл по объему V от дивергенции векторного поля { P,Q, R }, а в правой – поток этого вектора через ограничивающую тело поверхность S:

(108)

Докажем, что величина дивергенции в данной точке не зависит от выбора системы координат. Рассмотрим некоторую точку М, которую окружает трехмерная область V, ограниченная поверхностью S. Разделим обе части формулы (108) на V и перейдем к пределу при стягивании тела V к точке М. Получим:

. (109)

Это равенство можно считать инвариантным определением дивергенции, то есть определением, не зависящим от выбора координатной системы.

Пример 28.

Определить дивергенцию и ротор векторного поля .

Теорема д. Стокса

Данная теорема позволяет рассчитывать циркуляцию вектора по контуру конечной длины с помощью ротора этого вектора.

Циркуляция векторного поля по замкнутому положительно ориентированному контуру L равна потоку ротора этого поля через любую гладкую поверхность S, опирающуюся на данный контур:

. (2.12)

Д ля доказательства теоремы рассмотрим контур с охватываемой им площадью (рис. 2.6). Весь контур разбивается на элементарные контуры той же ориентации (рис. 2.10).

Циркуляция по элементарному контуру равна .

Все смежные контура (1 и 2 на рис. 2.10) имеют такую особенность: на общей границе при том же значении поля вклад в циркуляцию по каждому из смежных контуров будет происходить с изменением знака (для контура 1 - a  b, а для 2 - b  a). В результате вклад в циркуляцию всех внутренних участков контуров взаимно компенсируется, и нескомпенсированными останутся только участки принадлежащие контуру L, что в итоге дает (2.12) [8].

Частным случаем (2.12) в случае расположения контура на плоскости является формула Д. Грина (М. Остроградского- Д. Грина [9]):

. (2.13)

Формулы (2.12) и (2.13) позволяют свести вычисление криволинейного интеграла второго рода к вычислению двойного интеграла по области S.

Обратный переход по (2.12) осуществляется аналогично (2.8).

 

50