П.4 Математическая модель канала связи

Рассмотрим математическую модель канала связи и определим характеристики сигнала синхронизации в пункте приема.

Обозначим сигнал синхронизации как . Структурная схема канала передачи сообщений может быть представлена в виде рис.7. На этой структурной схеме приведены те элементы канала связи, которые определяют принципиально необходимые операции, совершаемые над сигналом источника сообщения, передаваемого по каналу связи. К таким операциям следует отнести следующие. Операцию линейного преобразования на входе передатчика -–операцию Лф1. Такое преобразование вызвано необходимостью формирования сигнала сообщения для передающего устройства, приемлемого как по спектру, так и по уровням сигнала.

r(t)

      

 

 

Рис. 7 Функциональная схема канала передачи сообщений: ИС – источник сообщений; Лф1 – линейный фильтр 1; НП – нелинейный преобразователь; ЛФ2 – линейный фильтр 2; БВ – блок взаимодействия; ИНП – источник негауссовых помех; Пр – приемник; Пс – получатель сообщения; Пер – передатчик; ЛС – линия связи.

 

Далее следует операция нелинейного преобразования – операция “нп”. Эта операция описывает нелинейное преобразование в виде модуляции сигнала - носителя сообщения. В результате нелинейного преобразования возникают спектральные составляющие, выходящие за рамки отведенного для передачи сигнала – носителя сообщения по линии связи. Для исключения нежелательных элементов этого преобразования используют фильтр “лф2”.

Сигнал с выхода фильтра “Лф2” поступает в линию связи. В линии связи этот сигнал взаимодействует с сигналами источников негауссовых помех (блок ИНП на рис. 7). Взаимодействие осуществляется в блоке БВ. Взаимодействие может быть аддитивным, мультипликативным или комбинированным (частично аддитивным, частично мультипликативным).

Далее сигнал – носитель сообщения – аддитивно суммируется с гауссовыми шумами линии связи (ЛС). Результат этого суммирования поступает на вход приемника. Приемник формирует оценку сигнала сообщения - и подает ее на вход получателя сообщения (Пс на рис.7).

Рассмотрим математические модели каждого из блоков функциональной схемы рис.42.

       a) Источник сообщения (ИС) может быть описан в виде нелинейного нестационарного дифференциального уравнения следующего вида [8-10]

 

                                                                (1)

где  - вектор “состояния” сигнала источника сообщения размерности ;  - вектор, зависящий от   и ;  -  матрица коэффициентов, зависящих, в общем случае, от времени; гауссовский шум (“порождающий” шум) с равномерным спектром и ковариационной матрицей

 

 

В том случае, когда вектор  представим в виде произведения , уравнение (1) преобразуется в линейное нестационарное уравнение

 

                                                                             (2)

 

матрицу   при этом называют матрицей состояний.

Уравнение (2) становится линейным стационарным, когда матрица состояний и матрица коэффициентов усилений   не зависят от времени,

 

                                                                          (3)

 

       b) Линейный фильтр Лф1 описывают дифференциальным и алгебраическим уравнениями:

 

                                                                            (4)

 

Дифференциальное уравнение описывает частотно-избирательные свойства фильтра, алгебраическое уравнение – процесс на выходе фильтра, процесс “наблюдения”. Выход фильтра, процесс   подают на вход нелинейного преобразователя – НП.

       c) Нелинейный преобразователь представляет собой модулятор, осуществляет модуляцию сигнала  – носителя сообщения сигналом ,

 

 

Модуляция может различной: амплитудной, угловой. В результате модуляции сигнала возникают различные частотные составляющие, некоторые из них могут выходить за рамки полосы частот, разрешенной для передачи по радиолинии связи. Поэтому сигнал с выхода нелинейного преобразователя подают на вход фильтра Лф2, осуществляющего формирование сигнала, подаваемого в радиолинию связи.

       d) Линейный фильтр Лф2 может быть описан аналогично описанию фильтра Лф1,

 

                                                                          (5)

Дифференциальное уравнение в (5) описывает избирательность фильтра Лф2, алгебраическое - процесс наблюдения, сигнал  - процесс, подаваемый на вход радиолинии.

       Модель радиолинии описывает взаимодействие сигнала с помехами негауссового типа.

       e) Источник негауссовых помех (ИНП) -  - в модели описан уравнением

 

                                                            (6)

 

где гауссовский шум с равномерным спектром и ковариационной матрицей

 

 

Уравнение (6) аналогично уравнению (1), нелинейное дифференциальное уравнение (6) может описывать широкий класс различных сигналов как детерминированных, так и случайных.

       j) Блок взаимодействия (БВ) моделирует воздействие сигнала   на полезный сигнал . Это воздействие может быть аддитивным, мультипликативным или комбинированным (частично аддитивным, частично мультипликативным). Сигнал на выходе блока взаимодействия

 

       k) Наблюдение   представляет собой аддитивную сумму сигналов   и ,

 

                                                                                    (7)

 

где - гауссовский шум с равномерным спектром и ковариационной матрицей

 

 

       Введем далее обозначения:

 

 

где гауссовский шум с равномерным спектром и ковариационной матрицей

 

Тогда уравнения (1)-(6) могут быть записаны в виде

 

                                                                     (8)

 

                                                                                    (9)

 

       Таким образом, сигнал на входе получателя сообщения описан двумя уравнениями: дифференциальным уравнением состояния (8) и уравнением наблюдения (9).

       Решением уравнения (8) является плотность распределения вероятностей вектора состояния   [8-10]. Эта плотность распределения вероятностей описывается уравнением Фоккера - Планка - Колмогорова:

           

                                                                     (10)

 

Наблюдение   позволяет найти апостериорную плотность распределения вероятностей

 

 (11)

 

 

       Апостериорная плотность распределения вероятностей вектора состояний является основой для нахождения найлучшей в определенном смысле оценки вектора  Обычно применяют критерий получения оценки, минимизирующий средний квадрат ошибки. Если оценку обозначить  как , то средний квадрат ошибки можно записать в виде:

 

                                                                              (12)

 

l) Оценка вектора , минимизирующая средний квадрат ошибки (12), будет равна

 

.                                                       (13)

 

Для получения алгоритма оценки в более простом виде, предположим, что апостериорная плотность       распределения вероятностей вектора состояний (11) имеет гауссово распределение. В этом случае оценка будет также распределена по гауссовому закону. Следовательно, для описания оптимального алгоритма оценивания вектора состояния достаточно знания значения вектора и значения его дисперсии - . Подставляя в (13) значения апостериорного распределения вектора состояния и ограничиваясь первыми двумя значениями разложения оценки в ряд Тэйлора, можно получить следующие уравнения для значений вектора и его дисперсии:

 

                       (14)                

 

               (15)

 

где  - матрица Якоби, соответствующая вектору, помещенному внутри квадратных скобок.

       Уравнения (14)-(15), описывающие оптимальный алгоритм оценки вектора состояний, имеют следующие особенности:

- уравнение для оценки вектора состояния (14) содержит в качестве автономной части уравнения для структуру, совпадающую с автономной частью модели (8) сигнала   на входе оптимального приемника;

- уравнение для оценки вектора состояния зависит от дисперсии оценки, которая в общем случае, в свою очередь, зависит от наблюдения   и времени; очевидно, для правильно построенной модели с течением времени значение дисперсии должно уменьшаться;

- степень “влияния” линии связи на размытость оценки зависит от разности ,  эту разность называют “обновляющим процессом” (сравни “порождающий процесс” в модели сигнала сообщения);

- степень “влияния” линии связи на размытость оценки зависит также от помех радиолинии – чем большие помехи радиолинии, тем это влияние меньше.

В литературе [8-10] приведены частные случаи оценки вектора состояния для различных ситуаций: линейная и нелинейная модель, стационарный и нестационарный случаи оцениваемого процесса.

 

Литература

1. Беллами Дж. Цифровая телефония: Пер. с англ./ Под ред. А.Н.Берлина, Ю.Н.Чернышова. – М.: Эко-Трендз, 2004. – 640с.: илл.
2. Невдяев Л.М., Смирнов А.А. Персональная спутниковая связь. – М.: Эко-трендз, 1998. – 215 стр.
3. Таненбаум Э. Компьютерные сети. – М.: Питер, 2005. – 992 стр.
4. Лившиц Б. С., Пшеничников А. П., Харкевич А. Д., Теория телетрафика: Учебник для вузов.— 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Связь, 1979.—224 с., ил
5. Корнышев Ю.Н., Фань Г.Л. Теория распределения информации: учеб. пособие. М.: Радио и связь, 1985.
6. Гольдштейн Б.С. Системы коммутации. Учебник для вузов. – С-Пб.: БХВ, 2004 г., илл.
7. Баркун М.А., Ходасевич О.Р. Цифровые системы синхронной коммутации. – М.: Эко-Трендз, 2001 г.
8. Д.Снайдер. Метод уравнений состояния для непрерывной оценки в применении к теории связи. – М.: Энергия, 1973.
9. Г.Ван Трис. Теория обнаружения, оценок и модуляции. – М.: Советское радио, 1977.
10. Первачев С.В., Валуев А.А., Чиликин В.М. Статистическая динамика радиотехнических следящих систем. – М.: Советское радио, 1973.