Способы представления логических функций

Целью проектирования цифрового устройства является получение его логической функции (ЛФ) и соответствующей ей схемной реализации. ЛФ могут иметь различные формы представления: 1) словесное, 2) графическое, 3) табличное, 4) алгебраическое, 5) на алгоритмическом языке (например VHDL) и 6) схемное. В качестве примера, рассмотрим функцию Y от двух переменных x1 и x0, заданную словесным описанием: Y=1, если переменные НЕ РАВНЫ и Y=0, если x1=x0. Такую ЛФ удобно назвать функцией НЕРАВНОЗНАЧНОСТИ. Переходим к табличному представлению Y (таблица 2).

Табличное представление значений ЛФ для всех наборов входных переменных называется таблицей истинности. В общем виде переход от табличного представления к алгебраическому может осуществляться по формуле (12), одной из основных в алгебре логики.

Выражение (12) называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой ЛФ (СДНФ). mi - минтерм или логическое произведение всех переменных i-го двоичного набора, входящих в прямом виде, если значение этой переменной в наборе равно 1, и в инверсном виде, если ее значение равно 0. fi - значение ЛФ на i - ом наборе. Доказательство (12) базируется на теореме разложения, в соответствии с которой любую ЛФ f(..) от n-переменных можно разложить по переменной xi в виде: f(x(n-1),...,xi,...,x0) = ~xi*f(x(n-1),...,0,..,x0) + xi*f(x(n-1),..,1,..,x0). Это выражение для xi=0 равно ~0*f(x(n-1),...,0,..,x0) + 0*f(x(n-1),..,1,..,x0) = f(x(n-1),...,0,..,x0). При xi=1 оно будет равно ~1*f(x(n-1),..,1,..,x0) + 1*f(x(n-1),..,1,..,x0) = f(x(n-1),...,1,..,x0), т.е. при любых значениях xi теорема разложения справедлива. Теорему разложения можно применить n раз и тогда ЛФ будет разложена по всем своим переменным.

В виде примера рассмотрим функцию F=f(x1,x0) от двух переменных. Разложение этой функции по переменной x1 даст: F= ~x1*f(0,x0) + x1*f(1,x0). Продолжая эту операцию для переменной x0, получим:

F =~x1*(~x0*(f(0,0) + x0*(f(0,1)) + x1*(~x0*(f(1,0) + x0*(f(1,1)) = ~x1*~x0*f(0,0) + ~x1*x0*f(0,1) + x1*~x0*f(1,0) + x1*x0*f(1,1). (12.1)

Выражение (12.1) позволяет записать все переключательные функции от двух переменных, используя только три основных логических операции.

Рассмотрим разложение функций F7-"ИЛИ" и F1-"И", для чего необходимо обратиться к соответствующим строчкам таблицы 1. Функция И на двоичных наборах входных переменных x1 и x0 (00,01,10,11) принимает значения 0,0,0,1. Записывая выражение (12.1) для этих значений получим: F1(x1,x0) = ~x1*~x0*0 + ~x1*x0*0 + x1*~x0*0 + x1*x0*1 = x1*x0, что соогласуется с ее определением. Таким же образом, находим алгебраическое выражение функции F7-"ИЛИ", которая, соответственно, на тех же входных наборах принимает значения: 0,1,1,1. Тогда, в соответствии с (12.1), F7(x1,x0) = ~x1*~x0*0 + ~x1*x0*1 + x1*~x0*1 + x1*x0*1. Вынося за скобки в двух последних слагаемых x1, получим F7 = ~x1*x0*1 + x1*(~x0*1 + x0*1). На основании аксиомы (8), выражение в скобке равно "1" и F7 = ~x1*x0*1 + x1. Применяя распределительный закон, найдем (~x1+x1) * (x0+x1) = x1+x0.

Возвращаясь к таблице 2, получим Y = 0*~x1*~x0 + 1*~x1*x0 + 1*x1*~x0 + 0*x1*x0 = ~x1*x0 + x1*~x0 = x1 (+) x0 = F6 (функцияия неравнозначности).

С помощью формулы (12) любую, сколь угодно сложную, логическую функцию можно представить в виде трех основных ЛФ: "И", "ИЛИ", "НЕ", представляющих собой логический базис.

ЛОГИЧЕСКИЙ БАЗИС

Набор простейших ЛФ, позволяющих реализовать любую другую функцию называется логическим базисом (ЛБ). Функции И, ИЛИ, НЕ не являются минимальным ЛБ, т.к. сами могут быть представлены через другие функции, например через F8(ИЛИ -НЕ) или F14(И - НЕ).

Следовательно базис "И - НЕ" является минимальным. Реализацию НЕ,И,ИЛИ в базисе "ИЛИ - НЕ" произвести самостоятельно, используя перечисленные аксиомы.