Период колебаний математического маятника в лифте, движущемся с ускорение вниз (вверх)

Задача

В покоящейся ракете колеблется математический маятник. При движении ракеты вверх с некоторым ускорением период колебания маятника уменьшился вдвое. Во сколько раз ускорение, с которым движется ракета, больше ускорения свободного падения?

 

                                                                                                                                                          

 

 

3. Записываем второй закон Ньютона:

=+m⋅,

4. Проецируем силы и ускорения на ось ОХ и находим касательное ускорение:

 

 

 

 

 

Так как отклонение мало, то длина дуги приблизительно равна X,

Sin =

тогда

5.Сравнивая полученное выражение с уравнением гармонических колебаний

 

находим, что при малых отклонениях маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой

 

Тогда период колебаний математического маятника будет равен:

-период колебаний маятника в ракете, стартующей с ускорением 

Вверх

В покоящейся ракете период колебаний равен

По условию задачи:

Период колебаний маятника в электрическом поле

Задача

 Шарик массой m подвешен на шелковой нити длиной L. Шарик имеет положительный заряд q и находится в однородном электрическом поле напряженностью Е, направленном вертикально вниз. Каков период малых колебаний шарика?

Дано:

m- масса шарика

q – заряд шарика

Е – напряженность

Найти период колебаний

 

 

                                                                            

Отведем заряженный шарик, находящийся в электрическом поле на малый угол. Изобразим силы, действующие на шарик: силу тяжести, силу упругости, электрическую силу. Применим второй закон Ньютона, учитывая, что сила, возвращающая заряженный шарик в положение равновесия и угол отклонения шарика из положения равновесия имеют противоположное направление – это означает знак «–».

 – второй закон Ньютона

Спроецируем уравнение на ось Х:

- проекция силы тяжести на ось Х  

 

 – проекция электрической силы на ось Х

= 0

 

Сравниваем полученное выражение с уравнением гармонических колебаний:

 

Не трудно догадаться, что если изменить направление электрического поля на противоположное, в знаменателе будет знак «-»

Период колебаний жидкости в сообщающихся сосудах

ЗАДАЧА

 

Дано: ρ, V, S,T-?

Решение:

Чтобы начались колебания выведем систему из ПУР, переместим жидкость на Δh в левом колене, а значит, в правом колене жидкость поднимется тоже на высоту Δh на уровнем О-О

Таким образом, колебания возникнут за счет результирующей силы тяжести столба жидкости высотой 2Δh:

 

В колебания придет жидкость массой:  

По второму закону Ньютона: 

 

 

Любое колебательное движение описывается уравнением:

 

Знак минус показывает, что сила и смещение жидкости направлены в противоположные стороны.

В данном случае X= Δh

 

Период колебаний ареометра

 

Задача

 

 

Решение.

Запишем краткое условие задачи.

Дано:
m r

T=?

На погруженный в жидкость ареометр действуют две силы: сила тяжести и архимедова сила.

Если ареометр находится в равновесии, то приложенные к нему силы уравновешены.
mg = (1)
Чтобы начались колебания жидкость нужно вывести из положения устойчивого равновесия, вниз на X При этом возникнет равнодействующая сила за счет дополнительного погружения на X
(2)

Подставив (1) в (2) получаем:

 

F=ma

Мы видим, что на ареометр действует сила, пропорциональная смещению, взятому с обратным знаком, т.е. квазиупругая сила. Следовательно, он совершает гармонические колебания, cогласно уравнению: 

 

Период колебаний льдины

Задача от барона Мюнхгаузена

Дано: S =5 м ²; m = 80 кг;;

Найти:d

Выведем формулу периода колебаний льдины с бароном, а потом найдем ее толщину.

Чтобы начались колебания льдина выводиться из положения устойчивого равновесия на величину Х вниз. Тогда возникает результирующая сила, обусловленная изменением силы Архимеда

 (1)

По второму закону Ньютона: (2)

Приравняем (1) и (2)                

= (3)

Найдем массу льдины: М=V=

 Где - толщина льдины, – площадь льдины

Подставим массу льдины в (3) и выразим ускорение

=

 

Знак минус указывает, что сила и смещение направлены в противоположные стороны.

Ускорение пропорционально Х это признак гармонических колебаний. Гармонические колебания описываются уравнением:

 

На самом деле есть сопротивление, поэтому колебания очень быстро затухают