Основные свойства неопределенных интегралов.

1) производная неопределённого интеграла равна под интегральной функции;

2) дифференциал от неопределённого интеграла равен интегральному выражению.

3) неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной;

4) постоянный множитель можно выносить из под знака ∫;

5) неопределённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме от этих чисел в отдельности.

 

Таблица основных интегралов.

1) ∫х^аdx=(x^a+1/a+1)+c;

2) ∫dx/x=ln(x)+c;

3) ∫dx/1+x²=arctg(x)+c;

4) ∫dx/√(1+x²)=arsin(x)+c;

5) ∫adx=a^x/ln(a)+c;

6) ∫e^xdx=e^x+c;

7) ∫sin(x)dx=-cos(x)+c;

8) ∫cos(х)dx=sin(x)+c;

9) ∫dx/cos(х)=tg(x)+c;

10) ∫dx/sin(x)=-ctg(x)+c;

11) ∫dx/(х²-a²)=1/2a*ln((x-a)/(x+a))+c;

12) ∫dx/√(х²-a²)=ln(x+√(x²+a))+c;

13) ∫dx/(х²+a²)=1/a*arctg(x/a)+c;

14) ∫dx/√(х²-a²)=arsin(x/a)+c;

 

Основные методы интегрирования.

1) Непосредственное интегрирование. Интегрирование используя таблицу интегралов и привил интегрирования.

2) Метод подстановки. Во многих случаях этот способ позволяет свести нахождение интеграла к обычному интегрированию. Такой метод еще называется методом замены переменной. Вывод такого способа интегрирования идет из теоремы. Теорема: Пусть функция x=g(t) определена и дифференцируема на промежутке Т, и пусть Х множество значений функции на котором определена функция f(x), тогда множество Х, функция имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула: ∫f(x)dx=∫f(g(t)*g’(t)dt

3) Метод интегрирования по частям. Теорема: Пусть функция U(x) и V(x) определены и дифференцируемы на отрезке Х. И пусть функция U’(x)V(x) имеет первообразную на этом промежутке, тогда на промежутке X, функция U(x)V’(x) так же имеет первообразную, и справедлива формула: ∫U(x)V’(x)dx=U(x)V(x)- ∫V(x)U’(x)dx

 

Интегрирование рациональных функций.

Важный класс функции, интегралы от которых всегда выражаются через элемент функции, следовательно элементарные функции, т е функции можно представить в виде p(x)/q(x), где p(x) и q(x) – многочлены. Если степень многочлена в числители равна или больше степени многочлена в знаменателе, то выполнимо деление по очереди.p(x)/q(x)=w(x)+r(x)/q(x), w(x)- многочлен, R(x) многочлен, степень которого меньше чем степень q(x).

Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.

Предварительно введем обозначение рациональной функции от двух переменных u и v, т е функции, из двух переменных над которыми проводятся операции сложения и умножения. R(u,v). Если переменные в свою очередь являются функциями, то функция называется рациональной функцией от многочленов относительно одной переменной. Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функции и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональной функции. 

19) интегралы вида ∫ R (x,√ axx + bx + c)

∫R(x,√axx+bx+c): Если трехчлен √axx+bx+c имеет два корня и а>0, то получаем функцию вида: R(x, √axx+bx+c)=R(x,│x-x1│ √a(x-x2)/(x-x1). Если корни равны то, √axx+bx+c= √a│x-x1│.

 

Определение определённого интеграла.

Опр: Если существует конечный предел I интегральной суммы, при λ→0, то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) по отрезку а,b и обозначается

В этом случае f(x) называется интегрируемой функцией, а а и b это пределы интегрирования.

Опр: Число I называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку a,b если для любого E>0 существует d>0 такое, что при λ<d, независимо выполняется неравенство: f(x)-I<E

Условие сущ-я определённого интеграла.

Ограниченность интегрируемой функции.

Теорема: Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

Предположим обратное, т е допустим, что функция не ограничена на отрезке. Покажем, что в этом случае интегрируемую сумму можно сделать сколь угодно большой. Зададим определенное число М>0, получаем что интегральная сумма по величине больше любого заданного числа, поэтому интегральная сумма не имеет предела, это значит что определенный интеграл от неограниченной функции не существует.

Это условие не является достаточным. Достаточным является другие условия.

Суммы Дарбу.

Пусть функция f(x) ограничена на отрезке. Разобьем ее на отрезки. Через M и m означим точную нижнюю грань и точную верхнюю грань. Суммы Mi∆xi и mi∆xi. Эти суммы называются соответственно нижней и верхней суммами. Сумма Дарбу имеет один геометрически смысл. Рассмотрим неотрицательную непрерывную функцию на отрезке и криволинейную трапецию, т е график функции ограниченными прямыми с координатами концов отрезка.

Формула Ньютона Лейбница.

Вычислять определенный интеграл как предел интегральной суммы очень трудно. Поэтому существует более удобный способ. Установлен, что функция непрерывна на отрезке интегрирования. Получаем формулу: Определенный интеграл равен разности интеграла от верхней грани и интеграла от нижней грани.

Замечание: Формула Ньютона Лейбница справедлива и для некоторых непрерывных функции.