Пропускная способность непрерывных линейных систем, представленных в виде фильтров низкой частоты

 

В ряде случаев необходимо найти пропускную способность линейной системы в виде фильтра низкой частоты с заданной частотной характеристикой. При заданных спектральных плотностях мощностей сигнала S_c (f) и гауссовской помехи S _п (f) выражение (6-305) определяет пропускную способность линейной системы [13], т.е. в этом случае

 

           (6-322)

 

Пусть сигнал вначале подвергается фильтрации, а затем действию шума. Тогда, учитывая известное соотношение между спектральными плотностями на входе и выходе фильтра и полагая полезный сигнал значительно превышающим по мощности шум, получаем:

 

 

или

 

,            (6-323)

 

где С_ф - пропускная способность фильтра; K (jf) - комплексная передаточная функция фильтра; F - полоса частот полезного сигнала.

Первое слагаемое (6-323) определяет пропускную способность идеального фильтра с полосой F, на входе которого действуют полезный сигнал и помеха со спектральными плотностями S_c (f) и S _п (f) соответственно. Второе слагаемое характеризует изменение пропускной способности из-за неидеальности системы.

Рассмотрим линейный "шумящий" фильтр с коэффициентом усиления, изменяющимся случайным образом относительно некоторого постоянного значения. Свойства фильтра характеризуются его импульсной переходной функцией g (τ). Представим коэффициент усиления в виде суммы двух составляющих - номинального (среднего) значения к ₀ и случайной компоненты φ (t) в виде белого шума. Тогда рассматриваемый фильтр будет состоять из двух параллельно включенных звеньев (рис. 6-65). Согласно этой схеме помеха Y _п(t) будет определяться выражением

 

 

Рис. 6-65. Эквивалентная схема линейного шумящего фильтра.

 

 

Так как φ (t) - белый шум (его спектральную плотность обозначим S_φ), спектральная плотность помехи Y _п(t) будет равна:

 

,

 

где D_X - дисперсия сигнала X (t);  нормированная передаточная функция фильтра.

Учитывая, что

 

,

 

и применяя (6-322), получаем:

 

,        (6-324)

 

где к ₀ - номинальное (среднее) значение коэффициента усиления фильтра; S_φ - спектральная плотность флуктуаций коэффициента усиления; D_X - дисперсия входного сигнала; S_X (f) - спектральная плотность входного сигнала.

Пропускная способность системы с частотно-зависимой обратной связью, в прямой цепи которой находится "шумящий" фильтр (рис. 6-66), определяется формулой, вывод которой аналогичен выводу (6-324):

 

; (6-325)

 

,       (6-326)

 

где к_о.с (jf) - комплексная передаточная функция цепи обратной связи; остальные величины те же, что и для (6-324).

 

Рис. 6-66. Эквивалентная схема линейного шумящего фильтра

с отрицательной обратной связью.

 

 

Пример.

В прямой цепи системы автоматического управления (рис. 6-66) включен усилитель, коэффициент усиления которого флуктуирует относительно среднего значения к ₀ со спектральной плотностью флуктуаций S_v. На входе усилителя действует случайный сигнал со спектральной плотностью , ограниченный полосой частот F. Требуется определить пропускную способность усилителя без обратной связи и с отрицательной обратной связью через фильтр с передаточной функцией

 

 

(используя исходные данные в табл. 6-17).

Таблица 6-17

Исходные данные к примеру

 

Параметр	к 0	ко.с	β, 1/c	T, c	Sv, c	F, Гц
Значение	10	1	2	0,5	0,1	14

 

1. Определяем дисперсию входного сигнала

 

 

или

 

 

(коэффициент 2 учитывает, что спектральная плотность есть четная функция частоты f).

Подстановка числовых данных даст D_X = 4 arctg 7 = 5,7.

2. По (6-324) определяем пропускную способность усилителя без обратной связи:

 

 

Для отыскания значения интеграла вначале найдем значения функции

 

 

для различных значений частоты f, а затем построим график функции log L_a и подсчитаем площадь, ограниченную этим графиком. Данные вычислений сведем в табл. 6-18.

Таблица 6-18

Данные вычислений L_a, log ₂ L_a

 

f	0	1	2	3	4	5	6	7	8	14
La	161	129	81	50,6	33	23,4	17	13	10,6	4,2
log2 La	7,46	7,14	6,38	5,78	5,17	4,67	4,21	3,82	3,52	2,17

 

На рис. 6-67 приведен график log₂ L_a. Подсчет площади дает следующее значение пропускной способности: С_ф.ш = 60 дв.ед./с.

 

Рис. 6-67. Графики функций log L_a и log L _б.

 

 

3. По (6-326) определяем дисперсию сигнала рассогласования ε на входе усилителя, охваченного обратной связью. Будем иметь:

 

 

Дальнейшие преобразования следующие:

 

,

 

где Т ₁ = Т / (1 + к ₀ к_о.с);

 

 

Так как βТ = 1, числитель подынтегрального выражения будет равен единице, и мы получим:

 

,

 

где вместо Т ₁ подставлено его значение. Подстановка числовых данных даст D_ε = 0,206.

Сравнение значений D_X и D_ε показывает, что при охвате усилителя отрицательной обратной связью дисперсия сигнала на его входе уменьшилась примерно в 28 раз.

4. По (6-325) определяем пропускную способность усилителя с обратной связью. Предварительно преобразуем подынтегральное выражение

 

 

Так как βТ = 1, получим:

 

 

Вычисленные данные сведем в табл. 6-19.

Таблица 6-19

Значения функций L_δ, log ₂ L_δ

 

f	0	1	2	3	4	5	6	7	8	14
Lδ	41,2	41,2	40,8	40,5	40,0	39,3	38,5	37,5	36,6	30
log2 Lδ	5,37	5,37	5,35	5,34	5,32	5,30	5,27	5,23	5,20	4,91

 

На рис. 6-67 приведен график функции log₂ L_δ. Подсчет площади, ограниченной графиком, дает следующее значение пропускной способности: С = 73,5 дв.ед./с.

Таким образом, применение отрицательной обратной связи через фильтр нижних частот позволило повысить пропускную способность усилителя примерно на 20 %.