Передаточные функции объекта

 

Из условия материального баланса изменение количества воды ёмкости за время ∂t определяется соотношением между расходами на притоке и стоке

 

 

где G_пр1, G_ст1 - расходы воды на притоке и стоке ёмкости, соответственно, кг/с; F₁ - поперечное сечение ёмкости, м²; ρ = 1000 - плотность воды, кг/м³; Н₁ - уровень воды в ёмкости, м.

Дифференциальное уравнение для ёмкости с учётом выражения (3.1) можно переписать в следующем виде

 

                      (3.2)

 

Это обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение с переменным коэффициентом K _v (х_ст1). Если отклонение уровня в ёмкости H₁ от номинального значения Н₁₀

 

 

достаточно мало, то нелинейное дифференциальное уравнение (3.2) можно аппроксимировать линейным дифференциальным уравнением. Для этого заменим нелинейную функцию линейной путём разложения ее в ряд Тейлора в точке Н₀ с последующим отбрасыванием членов порядка выше первого

 

                           (3.3)

 

Подставляя (3.3) в (3.2) и вычитая из полученного выражения уравнение статического режима

получаем

 

 

Введём новые обозначения:

 

(3.4)

 

тогда

                              (3.5)

 

Линеаризуя  аналогично  расходную  характеристику  регулирующего органа

получим

или

 

После подстановки полученного выражения в (3.5), уравнение объекта по каналу регулирования принимает вид

 

                  (3.6)

 

Таким образом, динамика 1-о ёмкостного объекта в первом приближении описывается дифференциальным уравнением инерционного звена первого порядка (апериодического звена).

Для расчета входящих в него параметров K ₁ и T ₁необходимо знать площадь поперечного сечения ёмкости S ₁ и величину коэффициентов гидравлического сопротивления на притоке и стоке ёмкости.

Коэффициент K ₁ может быть найден по экспериментальной статической характеристике объекта . Действительно, при  y₁'=0  уравнение (3.6) принимает вид  и представляет собой линейную аппроксимацию реальной статической характеристики  в точке с координатами (H₁₀ ,µ₁₀). Значение K ₁ в этом случае будет являться тангенсом угла наклона касательной в этой точке (см. рис. 15).

Для расчета коэффициента T ₁ по формуле

 

             (3.7)

 

необходимо предварительно определить значение коэффициента , как тангенс угла наклона касательной, проведённой в точке (G₁₀ , H₁₀) статической характеристики Н₁ = f(G₁) (рис. 16).

Рис. 15. Определение коэффициента К ₁

 

Рис. 16. Нахождение коэффициента  

 

Аналогичным образом определяются коэффициенты K₂, K₃, T ₂ , T ₃ для 2-й и 3-й детектирующих[3] ёмкостей.

Для сложного объекта, состоящего из 3-х последовательно включенных детектирующих емкостей можно записать следующую систему линейных дифференциальных уравнений

 

Им соответствуют передаточные функции:

 

 

Аналитическое и экспериментальное определение

Переходных характеристик

 

По передаточным характеристикам объекта можно рассчитать динамические характеристики по регулирующему и возмущающему каналам. Так, например, передаточная функция канала "регулирующий орган - уровень во 2-й ёмкости" имеет вид

 

 

откуда
               

 

По дифференциальному уравнению объекта нетрудно рассчитать его переходную характеристику[4]. Для первой ёмкости она имеет вид

 

                                   (3.8)

для 1-й и 2-й последовательно включенных ёмкостей (если Т₁ ≠ Т₂)

 

          (3.9)

где

 

 

Переходные характеристики могут быть определены экспериментальным путём. Для этого при установившемся состоянии объекта необходимо нанести ступенчатое возмущение по исследуемому каналу и записать реакцию объекта. Затем из каждой ординаты кривой разгона вычесть (по абсолютной величине) ординату установившегося состояния, предшествовавшего нанесению возмущения, а результат поделить на величину возмущения (рис. 17). Следует иметь в виду, что при больших возмущениях линейная модель хуже соответствует реальному объекту.