Вопрос. Гравитационный потенциал однородного шара

 

Потенциал точечных масс.

Определим потенциал V силы тяготения для различных силовых

полей. Докажем, что потенциал притяжения точечной

массы т ( рис. 1)

определяется формулой

(1.36)

Доказательство заключается в проверке: будет ли удовлетворять

данная функция условиям (1.4).

Возьмем частные производные от функции V по переменным

х, у и z . Получим

и аналогично по переменным у и z . Но из формулы (1.20)

следует, что

и потому

 (1.37)

Таким образом, мы доказали, что функция V (1.36) действительно

обладает тем свойством, что ее частные производные

равны проекциям силы притяжения на соответствующие координатные

оси, т. е. является потенциалом притяжения точечной

массы m . В том случае, когда силовое поле создается несколькими

точечными массами m _1, m ₂ ,… m_n , потенциал притяжения будет иметь вид

(1.38)

что легко может быть доказано, ибо если взять частные производные

от функции V по переменным х, у, z, то получим выражения (1.24).

Заметим, что выражение (1.38) теряет смысл,

когда притягиваемая точка Р сливается с одной из притягивающих

точек (в этом случае  ).

Потенциал притяжения точечной массы является конечной и

непрерывной функцией координат притягиваемой точки Р, если

только притягиваемая точка не совпадает ни с одной из притягивающих масс. То же самое справедливо и для производных

от V по координатам x , y , z . Формула (1.38) иллюстрирует

одно важное свойство потенциала — скалярность, т.е. потенциал

равнодействующей силы равен арифметической сумме потенциалов составляющих.

12. Основные понятия и определения, относящиеся к сферическим и шаровым функциям

Всякая сферическая функция степени п может

быть представлена в виде линейной комбинации 2 n +1 основных

сферических функций

Pnk(θ)coskλ и P nk (θ)sin kλ .

Функция Pno (cosθ)=Pn (cos θ) называется полиномом Лежандра, или главной сферической функцией,

функции Pnk(θ) — присоединенными

функциями Лежандра, а произведения Pn k (θ)cos kλ и Pnk ( θ )sinkλ —присоединенными сферическими функциями.

Полиномы Лежандра Pno(cosθ) обращаются

в нуль на системе параллелей Земли, делящих ее поверхность

на ( n +1) зоны, в которых функции Pn 0(cosθ) принимают положительные и отрицательные значения (рис. 12, а). По этой причине

полиномы Лежандра называются зональными сферическими

функциями.

Следует заметить, что каждая зональная гармоника симметрична

относительно полярной оси, причем четные гармоники

имеют симметрию также относительно экватора, тогда как нечетные

гармоники создают противоположный по знаку эффект

в южном и северном полушариях. При k=n сферические функции

 обращаются в нуль на 2п меридианах,

принимая попеременно то положительные, то отрицательные

значения в сферических секторах, ограниченных этими

меридианами (рис. 12, б). Поэтому эти функции называются

с е к т о р и а л ь н ы м и . Наконец, при 0<k<n вся сфера сеткой

2k меридианов и п—k параллелей делится на сферические четырехугольники

(tessera), кроме полярных областей, где образуются

треугольники (рис. 12, в). Сферические функции

в каждых двух прилежащих четырехугольниках

принимают попеременно положительные и отрицательные

значения. Эти функции называются т е с с е р а л ь н ы м и.

У р а в н е н и е Л а п л а с а устанавливает зависимость между вторыми производными потенциала тяготения объемных масс. Его пишут часто символически,

обозначая левую часть через ∆V, в таком виде:

∆V=0.

Символ ∆ называется оператором Лапласа. Функции, удовлетворяющие

условию ∆ V =0 в некоторой области τ, называются

гармоническими в этой области.