Модуль і аргумент комплексного числа

2.7.1. Полярні координати точки і її радіус-вектора

Кожному комплексному числу  може бути поставлена у співвідношення точку  на комплексній площині, а кожній точці – радіус – вектор .

Точку Z  можна задати також іншою парою чисел - полярними координатами:  - відстань від початку координат (т.О) та кутом  між променем OZ та додатним направленням вісі абсцис (мал. 8).

мал.8

Відповідно радіус – вектор точки Z задається тими ж числами, тобто , де r – довжина (модуль) вектора,  - кут між вектором і віссю ОХ.

 Для подальшого вивчення комплексних чисел нам необхідно згадати деякі властивості векторів:

1. Модуль (довжина) вектора  дорівнює .

2.  Кут між радіус-вектором і додатним напрямком осі абсцис - це кут повороту, при якому додатний напрям осі абсцис переходить в промінь, що задає напрямок даного вектора, при цьому початок променя є початок координат. Кут вважається додатним при повороті проти годинникової стрілки і від’ємним при повороті за годинниковою стрілкою.

Наприклад: В координатній площині задані вектори  і  (мал. 9). Знайдіть їх модулі (довжини). Які кути вони утворюють з додатним направленням вісі абсцис?

Так як , , то , . Промінь  є образом променя Ох при повороті на кут, який дорівнює , а також при повороті на кут , або  і так далі.

 

мал. 9

Тому вірне твердження, що вектор  утворює з додатним направленням вісі абсцис кут , де  - будь – яке ціле число.

Аналогічним чином визначаємо, що вектор  утворює з додатним направленням вісі абсцис кут , або , або  і так далі, тобто .

Відповідь: , , де  - будь – яке ціле число.

3. Нульовий вектор однозначно визначається модулем (довжиною), тобто кут між нульовим вектором і позитивний напрямом осі Ох не розглядається. Модуль нульового вектора дорівнює 0.

4. Нехай вектор  у прямокутній декартовій системі координат має координати х і у та утворює з додатним направленням вісі абсцис кут . Тоді

 .

 

2.7.2. Модуль комплексного числа.

Модулем комплексного числа , де  називається число  тобто .

Властивості:

1. Якщо , де  то  

Доведення цієї властивості випливає з означення модуля комплексного числа.

Таким чином, поняття модуля комплексного числа є розвитком і узагальненням поняття модуля дійсного числа.

2.  Модуль комплексного числа дорівнює модулю протилежного і спряженого  цього числа чисел.

Доведення. Розглянемо комплексне число , де , а також протилежне  і спряжене  йому числа. Знайдемо їх модулі:

Властивість доведено.

3. Число  дорівнює модулю (довжині) вектора , тобто .

Наприклад:

1. Знайдіть . Так як 5 – дійсне число, то з властивості 1 отримуємо

2. Знайдіть . Запишемо число і в алгебраїчній формі - . Тоді з означення модуля комплексного числа, отримаємо: .

3. Знайдіть . Це число представлене в алгебраїчній формі. З означення модуля комплексного числа отримаємо: .

4. Покажіть на комплексній площині всі комплексні числа з модулем, рівним . Всі комплексні числа з модулем  зображуються точками комплексної площини, які є кінцями радіус – векторів довжини . Множиною таких точок є коло з центром у початку координат і радіусу (мал.10)

  

мал.10

Не порушуючи спільності міркувань, можна зробити наступний висновок.

Зображення множини комплексних чисел з модулем   на комплексній площині є коло з центром на початку координат і радіусом .

 Доказ цього твердження полягає в послідовному застосуванні визначення модуля комплексного числа і визначення кола з центром на початку координат і радіусом .

Наприклад:

1. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з модулем, меншим або рівним 2.

Всі комплексні числа з модулем, меншим або рівним 2, зображуються точками комплексної площині, які є кінцями радіус-векторів довжини, менше рівної 2. Безліч таких точок є коло з центром на початку координат і радіусом 2. (мал.11)

мал.11

2. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа, що задовольняють умові:  

У цьому завданні розглядаються всі точки площини, крім точок, розташованих між концентричними колами і на меншому колі. Центри кіл - початок координат, радіуси рівні 2 і 4. (мал.12)

мал.12

 

2.7.3. Аргумент комплексного числа

Радіус – вектор точки  комплексної площини задається двома числами:  -довжина (модуль) вектора,  - кут між вектором і додатним направленням вісі Ох.

Якщо  - аргумент комплексного числа, то будь – яке число виду , де , також є аргументом даного числа . Вірно і зворотне твердження: якщо число  є аргументом даного комплексного числа , то воно можна подати у вигляді , де  - деяке ціле число. Обидва твердження очевидним чином випливають з властивостей періодичності тригонометричних функцій.

Два ненульових комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли їх модулі рівні, а аргументи відрізняються на , де .

Наприклад:

1.   Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з аргументом  

Усі комплексні числа з аргументом  зображуються точками комплексної площини, які є кінцями ненульових радіус – векторів, утворюють з додатним направленням вісі абсцис кут  Множиною таких точок являється промінь , який утворює з додатним направленням вісі абсцис кут  Зауважимо, що при цьому мається на увазі промінь без початкової точки (мал.13).

мал.13

2. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з аргументом  

Всі комплексні числа з аргументом  зображуються точками комплексної площини, які є кінцями ненульових радіус – векторів, утворюють з додатним направленням вісі абсцис кут . Множиною таких точок являється промінь , який утворює з додатним направленням вісі абсцис кут . (мал.14)

мал.14

3. Зобразіть на комплексній площині всі комплексні числа з аргументами  такими, що  

Всі комплексні числа з вказаними аргументами зображується точками комплексної площини, розташованими нижче промінів  і . Цей кут без однієї з сторін та вершини (мал.15) .

мал.15

 

 

2.7.4. Тригонометрична форма комплексного числа.

Розглянемо на комплексній площині числа з модулем 1. Зображенням множини таких чисел являється коло з центром у початку координат та радіусом 1 (мал.16).

мал. 16

Нехай т.  - точка перетину кола з позитивним напрямом осі абсцис. Розглянемо точку Р кола, що зображує деякий комплексне число . Точка Р є образом точки  при повороті з центром О на кут , причому кут визначений з точністю до  Тоді абсциса х точки Р дорівнює , а ордината у дорівнює . Тому комплексне число  задається формулою

Зараз розглянемо довільне, відмінне від нуля, комплексне число  з модулем , . Тоді  - комплексне число, модуль якого дорівнює 1. Тому існує число  таке, що  тобто  

Запис  при  називається тригонометричною формою комплексного числа .

Числа  і  називаються модулем і аргументом комплексного числа . Для модуля та аргументу використовуються також позначення:  Зазвичай вибирають значення , визначене нерівністю .