Уравнения с разделенными и разделяющимися

Переменными

 

Определение. Уравнение с разделенными переменными – это уравнение вида

 

или , (1.8)

 

где и функции, зависящие только от х и y соответственно, являющиеся непрерывными при рассматриваемых значения х и y.

Общим интегралом такого уравнения является равенство

 

,

 

в котором под выражениями понимаются произвольные первообразные функций М и N, соответственно, С – произвольная постоянная.

Пример 1. Проверить, что общим интегралом ОДУ в области , является равенство

 

. (1.9)

Решение. Действительно, проинтегрировав его левую часть, получим

,

следовательно, общим интегралом рассматриваемого уравнения является соотношение

,

откуда, в силу произвольности константы , следует (1.9), где .

Пример 2. Уравнение

 

при интегрируется так:

или ,

где , следовательно, общий интеграл имеет вид

 

,

где произвольная константа.

Определение. Уравнение вида

 

, (1.10)

 

в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только от х и только от y, называется уравнением с разделяющимися переменными.

Умножением обеих частей этого уравнения на функцию

 

, (1.11)

 

оно приводится к уравнению (1.8) с разделенными переменными. Поэтому общий интеграл ОДУ (1.10) есть

 

. (1.12)

 

Если уравнения имеют действительные решения x=a и y=b, то функции , являясь решением (1.10), могут не входить в общий интеграл (1.12) ни при каком конечном значении С, хотя при этом среди них могут быть частные решения (1.10), то есть последние при интегрировании оказываются потерянными. Точки вида х=а, y=b исключаются из интегральных кривых, соответствующих решениям , так как в этих точках уравнение (1.10) не задано. Необходимо отметить также, что среди решений могут быть и особые решения ОДУ (1.10).

Пример 3. Проинтегрировать уравнение

 

. (1.13)

 

Решение. Обе части уравнения умножим на функцию , тогда его можно записать в дифференциальной форме

 

. (1.14)

 

Получили уравнение с разделенными переменными. Его общий интеграл при при есть соотношение

 

,

 

где произвольная постоянная. Константу представим в виде , тогда , откуда имеем или . В последнем соотношении, в силу произвольности , знаки модуля можно опустить. Следовательно,

 

. (1.15)

 

Очевидно, решение уравнения (1.13) не входит в последнюю формулу ни при каком значении , хотя соответствующая ему интегральная кривая лежит в областях существования и единственности решения задачи Коши этого уравнения, то есть решение оказалось потерянным. Однако оно входит в формулу (1.15) при . Поэтому, допуская в (1.15) и , получаем, что общее решение уравнения (1.13) при имеет вид

,

где произвольная постоянная.

Заметим, что функция является решением перевернутого по отношению к (1.13) уравнения

 

.

 

Пример 4. Найти решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Разделим переменные, умножив обе части уравнения на . Имеем

.

Интегрируя последнее уравнение, получаем

 

или

.

Так как , то в последнем соотношении . Отсюда находим общее решение данного уравнения в области :

.

Выделим частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Для этого в формуле общего решения положим , получим уравнение для определения значения константы . Из него находим . Из двух, значений и выбираем , так как точка не лежит на кривой .

Итак, искомое решение есть .

 

Пример 5. Найти общий интеграл уравнения

 

. (1.16)

 

Решение. ОДУ (1.16) – это уравнение с разделяющимися переменными. Умножив обе части его на функцию

,

получим уравнение с разделенными переменными

 

. (1.17)

 

Общим интегралом последнего является соотношение

 

или

. (1.18)

 

Следовательно, (1.18) есть общий интеграл ОДУ (1.16).

Заметим, что формула (1.18) получена в предположении, что . Функции и являются, очевидно, решениями (1.16) и они не входят в (1.18) ни при каком конечном значении константы С. Покажем, что функции являются частными, а функция – особым решением уравнения (1.16).

Действительно, полупрямые лежат в областях существования и единственности уравнения

 

, (1.19)

 

получающегося из (1.16) разрешением относительно . Значит, эти полупрямые есть частные решения ОДУ (1.19), а следовательно и (1.16). Записав общий интеграл (1.18) в иной форме, выделим из него эти частные решения. Положим в (1.18) , где произвольная константа, тогда (1.18) перепишется так:

 

или

.

 

Отсюда имеем и, в силу произвольности ,

 

. (1.20)

 

Соотношение (1.20) - также общий интеграл ОДУ (1.16). Оно получено в предположении Очевидно, решения уравнения (1.16) получаются из (1.20) при значении Но, как мы показали, эти решения – частные, следовательно, в (1.20) можно допускать и . Таким образом, частные решения уравнения (1.16) получаются из общего интеграла (1.20) этого уравнения при

Покажем сейчас, что функция является особым решением уравнения (1.16). Отметим, во-первых, что соответствующая ей интегральная кривая не лежит в областях существования и единственности уравнения

 

,

 

перевернутого по отношению к (1.19), так как частная производная по функции в точках прямой обращается в бесконечность. Убедимся теперь в том, что через каждую точку интегральной кривой проходит по крайней мере две интегральные кривые уравнения (1.16). Выберем произвольно точку на этой кривой и ее координаты подставим в общий интеграл (1.20). Будем иметь соотношение для определения :

 

.

 

Отсюда находится кривая . Таким образом, интегральная кривая также проходит через точку , то есть функция – особое решение ОДУ (1.16).

 

 

1.2.1.Примеры для самостоятельного решения

 

Проинтегрировать следующие дифференциальные уравнения.

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. .

Решить задачу Коши.

1. ,

2. .