Теорема сложения скоростей при составном движении точки.

 

Формулировка теоремы и векторное уравнение	Графическое нахождение Из векторного уравнения	Аналитическое нахождение из векторного уравнения
Абсолютная скорость точки равна векторной сумме переносной ско-рости точки и отно-сительной скорости точки:   . (1)	Находим , и в соответствии с уравнением (1) строим векторный параллелограмм (или треугольник). или Если построение выполнено в масштабе, то из чертежа находим модуль V. Можно также вычислить V, используя известные стороны и углы построенных треугольников и формулы тригонометрии (например, теорему косинусов).	Находим , ; выбираем оси координат и уравнение (1) проектируем на эти оси:     Далее находим модуль   и направление вектора

Теорема сложения ускорений при составном движении точки (теорема Кориолиса).

Формулировка теоремы и вектор- ное уравнение	Графическое нахождение из векторного урав-нения	Аналитическое нахождение из векторного уравнения	Ускорение Кориолиса
Абсолютное ускорение точки в случае, когда переносное движе-ние точки не по-ступательное, равно векторной сумме переносного уско-рения точки, относительного ускорения точки и ускорения Корио-лиса : . (1) В случае, когда переносное движе-ние точки – посту-пательное, , и .	Находим , , . Выбираем мас-штаб и в соответ-ствии с уравнением (1) строим век-торный многоуголь-ник. Вектор, прове-денный из начала первого в конец последнего вектора, дает абсолютное ускорение точки.	Находим , , . Выбираем оси ко-ординат и проекти-руем уравнение (1) на эти оси: Далее находим модуль и направление вектора	; модуль , где , – модуль переносной угловой скорости, – модуль относительной скорости точки. Определить направление можно двумя способами. 1) Правило векторного произведения: вектор направлен перпендикулярно плоскости перемножаемых векторов и , в ту сторону,
	откуда кратчайший по-ворот от вектора к вектору выглядит происходящим против хода часовой стрелки. 2) Правило Жуковского: составляющую вектора , которая перпенди-кулярна вектору , надо повернуть на в сторону переносного вращения – получим вектор .

Рассмотрим два типовых примера (в примере К3а ось переносного вращения перпендикулярна пластине, в примере К3б – лежит в ее плоскости).

Пример K3a. Пластина OEAB ₁ D (ОЕ = OD, рис. К3а) вращается вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости пластины, по закону j = f ₁(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3а дуговой стрелкой). По дуге окружности радиуса R движется точка В по закону (положительное направление отсчета координаты s на траектории – от A к В).

Рис. К3а.

Дано: R = 0,5 м, j = t 2- 0,5 t 3, s = pRcos (pt /3) (j – в радианах, s – в метрах, t – в секундах).   Определить: абсолютную скорость V абс и абсолютное ускорение а абс в момент времени t 1 = 2 с.

 

Решение. Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая ее движение по дуге окружности относительным, а вращение пластины – переносным движением (подвижные оси B ₁ xy связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение точки найдутся по формулам:

(1)

где учтено,что

Определим все, входящие в равенства (1) величины.

1. Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К1б). Закон движения точки по траектории:

(2)

Сначала установим, где будет находиться точка В на дуге окружности в момент времени t ₁. Полагая в уравнении (2) t ₁ = 2 с, получим

Тогда

Знак минус свидетельствует о том, что точка В в момент t ₁ = 2 с находится справа от точки А. Изображаем ее на рис. К3а в этом положении (точка B ₁).

Теперь находим числовые значения

где - радиус кривизны относительной траектории, равный радиусу окружности R. Для момента времени t ₁ = 2с, учитывая, что R = 0,5 м, получим

(3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета координаты s, а вектор в противоположную сторону; вектор направлен к центру С окружности. Изображаем все эти векторы на рис. КЗа.

2. Переносное движение (мысленно остановим точку на пластине). Это движение (вращение) происходит по закону (см. задачу К2). Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения:

и при t ₁ =2 с

(4)

Знаки указывают, что в момент t ₁ =2 с направления w и e противоположны направлению положительного отсчета угла j; отметим это на рис. К3а соответствующими стрелками.

Для определения и найдем сначала расстояние h ₁ = ОВ ₁ точки В ₁от оси вращения О. Из рисунка видно, что h ₁ = Тогда в момент времени t ₁ = 2 с, учитывая равенства (4), получим

(5)

Изображаем на рис. КЗа векторы и с учетом направления и и вектор (направлен к оси вращения).

3. Ускорение Кориолиса. Модуль ускорения Кориолиса определяем по формуле где a – угол между вектором и осью вращения (вектором ). В нашем случае этот угол равен 90°, так как ось вращения перпендикулярна плоскости пластины, в которой расположен вектор . В момент времени t ₁= 2 с, учитывая, что в этот момент и , получим

(6)

Направление найдем по правилу Н.Е.Жуковского: так как вектор лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения, то повернем его на 90° в направлении , т.е. по ходу часовой стрелки. Изображаем на рис. К3а. (Иначе направление можно найти, учитывая, что ) Изображаем вектор на рис. К3а.

Таким образом, значения всех входящих в правые части равенств (1) векторов найдены и для определения и остается только сложить эти векторы. Произведем это сложение аналитически.

4. Определение . Проведем координатные оси В ₁ ху (см. рис. К3а) и спроектируем почленно обе части равенства на эти оси. Получим для момента времени t ₁ = 2 с:

После этого находим

Учитывая, что в данном случае угол между и равен 45°, значение можно еще определить по формуле

5. Определение . По теореме о сложении ускорений

(7)

Для определения спроектируем обе части равенства (7) на проведенные оси В ₁ xy. Получим

Подставив сюда значения, которые все величины имеют в момент времени t ₁ = 2 с, найдем, что в этот момент

Тогда

Ответ: = 3,95 м/с, = 12,08 м/с².

Пример К3б. Треугольная пластина ADE вращается вокруг оси z, совпадающей со стороной АЕ, по закону j = f 1(t) (положительное направление отсчета угла j показано на рис. К3б дуговой стрелкой). По гипотенузе AD движется точка В по закону s = АВ = f 2(t); положительное направление отсчета s – от A к D. Дано: j = 0,1 t3 - 2,2 t; s = АВ = 2 + 15 t – 3 t 2; (j – в радианах, s – в сантиметрах, t – в секундах). Определить: абсолютную скорость и абсолютное ускорение в момент времени t 1 = 2 с.

Решение. Рассмотрим абсолютное движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины – переносным (подвижные оси B ₁ xyz связаны с пластиной). Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:

(1)

где учтено,что

Определим все входящие в равенство (1) величины.

1. Относительное движение (мысленно остановим пластину). Это движение задано естественным способом (см. задачу К1б). Закон движения точки по прямолинейной траектории:

s = AB = 2 + 15 t – 3 t², (2)

поэтому , , так как для прямой линии .

В момент времени t ₁ = 2 с имеем

s ₁ = AB ₁ = 20 см, V _отн = 3 см/с, а _отн = - 6 см/с². (3)

Знаки показывают, что вектор направлен в сторону положительного отсчета координаты s, а вектор – в противоположную сторону. Изображаем эти векторы на рис. К3б.

2. Переносное движение (мысленно остановим движение точки по пластине).Это движение (вращение) происходит по закону j = 0,1 t³ - 2,2 t.

Найдем угловую скорость w и угловое ускорение e переносного вращения (см. задачу К2): w = = 0,3 t ²- 2,2; e = = 0,6 t и при t ₁ = 2 с,

w = -1 с^-1, e = 1,2 с^-2. (4)

Знаки указывают, что в момент t ₁ = 2 с направление e совпадает с направлением положительного отсчета угла j, а направление w ему противоположно; отметим это на рис. К3б соответствующими дуговыми стрелками.

Из рисунка находим расстояние h ₁ от точки B ₁ до оси вращения z:

h ₁ = АВ ₁ sin 30° = 10 см. Тогда в момент t ₁ = 2 с, учитывая равенства (4), получим

(5)

Изобразим на рис. К3б векторы и (с учетом знаков w и e) и ; направлены векторы и перпендикулярно плоскости ADE, а вектор – по линии В ₁ С к оси вращения.

3. Ускорение Кориолиса. Так как угол между вектором и осью вращения (вектором ) равен 30°, то в момент времени t ₁ = 2 с

(6)

Направление найдем по правилу Н.Е. Жуковского. Для этого вектор спроектируем на плоскость, перпендикулярную оси вращения (проекция направлена противоположно вектору ) и затем эту проекцию повернем на 90° в сторону , т. е. по ходу часовой стрелки; получим направление вектора . Он направлен перпендикулярно плоскости пластины так же, как вектор (см. рис. К3б).

4. Определение . Так как , а векторы и взаимно перпендикулярны, то ; в момент времени t ₁ = 2 с = 10,44 см/с.

5. Определение а _абс. По теореме о сложении ускорений

(7)

Для определения проведем координатные оси В ₁ xyz ₁ивычислим проекции на эти оси. Учтем при этом, что векторы и лежат на оси х, а векторы расположены в плоскости В ₁ yz ₁, т.е. в плоскости пластины. Тогда, проектируя обе части равенства (7) на координатные оси В ₁ хyz ₁ и учитывая одновременно равенства (3), (5), (6), получим для момента времени t ₁ = 2с:

Отсюда находим значение :

Ответ: V _абс = 10,44 см/с, а _абс = 16,64 см/с².