Субстанциональная производная бесконечно малой частицы жидкости

Рассмотрим математические аспекты изучения установившихся и неустановившихся движений.

Пусть нас интересует некоторый параметр φ, характеризующий элементарный объем жидкости ΔV (это может быть давление, температура, скорость и т.д.).

Подсчитаем изменение этого параметра за малый промежуток времени Δt.

В соответствии с общими правилами дифференциального исчисления можем записать равенство

(4.11)

в котором символ D употреблен вместо обычно применяемого знака дифференциала d, для того, чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что производная относится к одной и той же массе жидкости, заключенной внутри объема ΔV.

Такая производная называется субстанциональной производной (от слова субстанция – вещество). Ее еще называют либо полной производной, либо вещественной, либо эйлеровой.

Для установившегося и неустановившегося движения эта производная вычисляется различным образом.

1. Случай установившегося движения.

Пусть за время Δt частица жидкости переместится вдоль своей траектории на элемент длины Δ и попадет в другую точку пространства, где параметр φ отличается от исходного значения на величину Δφ.

Замечание:

По определению при установившемся течении в каждой отдельно взятой точке ни один параметр не меняет своего значения с течением времени. Поэтому приращение Δφ будем рассматривать просто как следствие различных положений объема ΔV в пространстве вне зависимости от времени его движения.

Т.к. одна точка от другой в рассматриваемом случае отстоит на расстоянии Δ , то справедливо очевидное равенство

(4.12)

Приравняв формулы (4.11) и (4.12), поделив на время Δt и перейдя к пределу при Δt → 0, получим искомую формулу для субстанционарной производной для установившегося движения: (4.13)

где - скорость движения частицы.

2. Случай неустановившегося движения

Рассмотрим формулу (4.12). Это равенство учитывает различие параметров потока в двух соседних точках пространства в один и тот же момент времени.

При неустановившемся движении за время Δt, пока объем ΔV перемещается из одной точки в другую, параметр φ изменится в сравнении с тем его значением, которое он имел бы при установившемся движении.

Это дополнительное приращение может быть подсчитано по формуле

(4.14)

Т.о. полное изменение параметра φ составит

(4.15)

Приравняв формулы (4.15) и (4.11), поделив на время Δt и перейдя к пределу при Δt → 0, получим искомую формулу для субстанционарной производной при неустановившемся режиме течения жидкости

(4.16)

где - называется локальной (местной) производной,

и – называется конвективной производной,

- скорость движения частицы.

Замечание:

Символически равенство (4.16) можно записать

здесь точки, стоящие за знаком приращения, заменяют написание рассматриваемого параметра и служат для общности рассуждений.

Символ представляет собой производную по направлению скорости движения частицы. Это направление, при одномерной постановке задачи, всегда считается известным, поэтому и скорость движения частицы и рассматривается как скалярная величина.

В условиях сложного пространственного движения (сплошной среды) жидкости данное представление о субстанциональной производной необходимо расширить и обобщить.