Плоско-параллельное движение твердого тела

· Плоско-параллельное движение твердого тела — это движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости.
Движение сечения S в своей плоскости можно рассматривать как сложное, состоящее из двух элементарных движений:
1) поступательного и вращательного;
2) вращательного относительно подвижного (мгновенного) центра.

· В первом варианте движение сечения может быть задано уравнениями движения одной его точки (полюса) и вращением сечения вокруг полюса.
В качестве полюса может быть принята любая точка сечения.
Уравнения движения запишутся в виде:
.
Ускорение точки движущейся плоской фигуры складывается из ускорения полюса относительно неподвижной системы отсчета и ускорения за счет вращательного движения вокруг полюса.

· Во втором варианте движение сечения рассматривается как вращательное вокруг подвижного (мгновенного) центра P.
В этом случае скорость любой точки В сечения будет определяться по формуле для вращательного движения:
.
Угловая скорость вокруг мгновенного центра Р может быть определена если известна скорость какой либо точки сечения, например точки А.
.

· Положение мгновенного центра вращения может быть определено на основании следующих свойств:
1) вектор скорости точки перпендикулярен радиусу;
2) модуль скорости точки пропорционален расстоянию от точки до центра вращения ();
3) скорость в центре вращения равна нулю.

· Теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, проведенную через эти точки, равны между собой и одинаково направлены.
Доказательство: расстояние АВ изменяться не может, следовательно, не может быть больше или меньше .
Вывод: .

Сложное движение точки

· Относительное движение — это движение точки относительно подвижной системы.
Переносное движение — это движение точки вместе с подвижной системой.
Абсолютное движение — это движение точки относительно неподвижной системы.
Соответственно называют скорости и ускорения:
— относительные;
— переносные;
— абсолютные.

· Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей (согласно теореме о сложении скоростей):
.
Абсолютное значение скорости определяется по теореме косинусов:
.

· Ускорение по правилу параллелограмма определяется только при поступательном переносном движении
.
.

· При непоступательном переносном движении появляется третья составляющая ускорения, называемое поворотным или кориолисовым.
,
где .
Кориолисово ускорение численно равно:
,
где – угол между векторами и .
Направление вектора кориолисова ускорения удобно определять по правилу Н.Е. Жуковского: вектор спроектировать на плоскость, перпендикулярную оси переносного вращения, проекцию повернуть на 90 градусов в сторону переносного вращения. Полученное направление будет соответствовать направлению кориолисова ускорения.

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики

· Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.

· Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).

· Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.

· Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:

где m_k, x_k, y_k, z_k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.

· Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
.
Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:

· Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:

· Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
где — ускорение центра масс тела.

· Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt:
.
Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
.

· Элементарная работа силы — это скалярная величина dA, равная скалярному произведению вектора силы на бесконечно малое перемещение .
Скалярное произведение векторов равно произведению их модулей на косинус угла между направлениями векторов:
,
где α — угол между направлениями векторов перемещения и силы.

· Работа силы на конечном перемещении точки её приложения равна интегралу от элементарной работы, взятому по перемещению:
.
Единица измерения работы — Джоуль (1 Дж = 1 Н·м).

· Количество движения материальной точки — это векторная величина , равная произведению массы m на её скорость :
.

· Количество движения механической системы равно векторной сумме количества движения её точек.
или
,
где m — масса механической системы, — вектор скорости центра масс системы.

· Кинетическая энергия материальной точки — это скалярная величина Т, равная половине произведения массы точки на квадрат её скорости:
.

· Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий всех её точек:
.

Аксиомы динамики

· Первая аксиома — это закон инерции.
Если на свободную материальную точку не действуют никакие силы или действует уравновешенная система сил, то точка будет находиться в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

· Вторая аксиома — закон пропорциональности ускорения.
Ускорение, сообщаемое материальной точке действующей на неё силой, пропорционально этой силе и по направлению совпадает с направлением силы: — это основной закон динамики.

· Третья аксиома — это закон противодействия.
Силы, с которыми действуют друг на друга две материальные точки, равны по модулю и направлены вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны:
.

· Четвертая аксиома — закон независимости действия сил.
При действии на материальную точку системы сил полное ускорение этой точки равно геометрической сумме ускорений от действия каждой силы: