Построение области устойчивости скорректированной системы

При расчете и анализе систем автоматического регулирования бывает необходимо исследовать влияние ее параметров на устой­чивость. Для решения этой задачи строят область устойчивости, т. е. определяют такие области значений параметров, при которых система оказывается устойчивой. Различают построения области устойчивости в плоскости одного параметра (второй координатой служит частота колебаний) и (что наиболее часто) в плоскости двух параметров. Построение в объеме трех параметров приме­няют редко из-за сложности геометрического представления границ (поверхностей) устойчивости. Примером области устой­чивости служит левая полуплоскость в комплексной плоскости корней характеристического уравнения.

Для выделения областей устойчивости необходимо построение границ устойчивости первого (нулевой корень характеристиче­ского уравнения) и второго (чисто мнимые корни) типов. Однако часто бывает достаточным построение только границы устой­чивости второго типа (колебательной). Для расчета колебатель­ной границы устойчивости можно использовать различные КПи­терии устойчивости.

Для уравнений любого порядка удобно использовать критерий устойчивости Михайлова. Границе устойчивости соответствует в этом случае равенство нулю характеристического комплекса передаточной функции замкнутой системы

, (37)

где A, B – параметры системы управления, оказывающие наиболее существенное влияние на устойчивость.

В этом случае уравнение (37) распадается на два уравнения:

, (38)

Оба эти уравнения представляют собой параметрические урав­нения колебательной границы устойчивости в плоскости с ко­ординатами А и В при условии отрицательности действительных частей всех других корней, КПоме чисто мнимых. Каждой точке на границе устойчивости соответ­ствует свое значение чисто мни­мых корней и, следовательно, своя частота колебаний выходной величины.

Для рассмотренного выше примера с комплексной передаточной функцией замкнутой системы (36) выражение (37) примет вид:

. (39)

Разбивая его на два уравнения получим

Целесообразно оценить границы области устойчивости скорректированной системы в плоскости настроек параметров корректирующего устройства, например: K_p – коэффициента передачи и T₂ – постоянной времени дифференцирующего звена. На рис. 29 приведен пример границы области устойчивости системы в плоскости указанных параметров.

Рис. 29. Граница области устойчивости в плоскости настроек корректирующего устройства

Устойчивой зоной является зона ниже кривой. Границей устойчивости первого рода является линия Кр = 0, поскольку при этом характеристическое уравнение замкнутой системы имеет нулевой корень. Если колебательную границу устойчиво­сти продолжить до границы устойчивости первого рода, то образованная область будет областью устойчивости в плоскости настроек регуля­тора.

Список литературы по курсу

Основная литература

Дополнительная литература

Периодические издания