Вычисление параметров модели

 

№ п/п	х	х2	y	x×y	х3	х4	х2у
…	…	…	…	…	…	…	…
N	Σх	Σх2	Σy	Σх×у	Σх3	Σх4	Σх2у

 

Для линейной модели (достаточно столбцов 1-5) имеем систему уравнений:

(2.2)

решая которую, находим параметры модели «a» и «b».

Квадратичная модель требует следующей системы уравнений:

(2.3)

Критерием выбора той или иной модели является погрешность аппроксимации.

Мерой оценки рассеяния параметра выхода является дисперсия воспроизводимости – средняя дисперсия всех опытов.

, (2.4)

где u – количество параллельных опытов (1…n); i – количество уровней переменного фактора (точек на кривой отклика) (1…N); – среднее значение выхода из серии параллельных опытов.

В однофакторных экспериментах дисперсия коэффициентов модели, полученных методом наименьших квадратов, равна

. (2.5)

Эта дисперсия позволяет оценить значимость коэффициентов модели.

Проведя необходимое для исследуемого объекта число однофакторных экспериментов, получим набор частных однофакторных моделей. Их можно объединить в общую многофакторную модель.

Пример:

Дано: частные модели вида:

; (2.6)

; (2.7)

. (2.8)

1. Приведём любые два выражения (5.7) и (5.8) к безразмерному виду, разделив на величину выхода, соответствующую условиям проведения первого эксперимента, то есть значениям S₁ и HB₁:

; . (2.9)

2. Умножим правую часть частной модели (2.6) на полученные зависимости (2.9).

, (2.10)

где – новая константа.

Основное достоинство изложенного метода – это его простота. Он может быть рекомендован для исследования простейших объектов и построения тарировочных зависимостей.

К недостаткам метода можно отнести следующие:

- значительные затраты времени (большое число опытов);

- неэкономичность;

- наличие систематических ошибок;

- отсутствие учёта смешанных взаимодействий.

Совершенствование экспериментальных методик пошло по нижеследующим направ-лениям.

Для компенсации первого и второго недостатков были разработаны устройства, позволяющие вести эксперименты одновременно при разных значениях факторов.

Для повышения точности (третий недостаток) увеличивали количество параллельных опытов. Минимальное число параллельных опытов равно трём.

Наконец, для компенсации четвертого недостатка были разработаны более сложные планы при одновременном изменении нескольких факторов, то есть многофакторные.

Остановимся подробнее на очень важной процедуре, называемой рандомизацией. При проведении исследований экспериментатору зачастую могут быть неизвестны все факторы, влияющие на выход, или ряд известных факторов им не может быть учтён. Примеры подобных факторов – это скачки напряжения электросети днём и вечером, особенности зрения одного из операторов, считывающих показания приборов, изменение температуры воздуха и тому подобное. Изменение выходного параметра исследуемого объекта по какой-либо координате (например, времени или температуре), не связанное с действиями экспериментатора, называется дрейфом и является источником систематических ошибок. Последние вызывают смещение оценок коэффициентов моделей.

Основным способом уменьшения ошибки экспериментатора из-за влияния источников неоднородности (систематических ошибок) является рандомизация – искусственное превращение систематических ошибок в случайные. Это достигается построением последовательности проведения отдельных опытов по таблицам случайных чисел. Рассмотрим рандомизацию на примере. Пусть нужно изучить влияние конструкции пульта управления В на время выполнения операции Т. Здесь источником неоднородности является оператор О, рис.2.1.

Ограничение на рандомизацию заключается в том, что экспериментатор на основании априорной информации об источниках неоднородности чётко формулирует требования к плану эксперимента, полностью исключающие источники неоднородности различных типов (дискретные и непрерывные).

 

Эксперимент не рандомезирован по конструкции, т.е. конструкция В зависит от оператора О. Вариант конструкции	Время операции
Т1	Т2	Т3
В1	О1	О1	О1
В2	О2	О2	О2
Эксперимент не рандомезирован по времени, т.е. время Т зависит от оператора О. В3	О3	О3	О3
В1	О1	О2	О3
В2	О1	О2	О3
В3	О1	О2	О3
Рандомизация по конструкции В и по времени Т. В1	О2	О3	О1
В2	О3	О2	О2
В3	О1	О1	О3
Рандомизация с ограничением. Оператор встречается только 1 раз в строке и в столбце. В1	О1	О2	О3
В2	О2	О3	О1
В3	О3	О1	О2

 

Рис. 2.1. Схемы однофакторных планов