Тема 6 Определенный интеграл

Задача 1. Вычислить, площадь фигуры, ограниченной линиями у=х²+4x, у=х+4 (рис. 1).

Решение. Площадь S фигуры, ограниченной сверху н снизу непрерывными линиями у=f(х) и у= (х), пересекающимися вточках с абсциссами x=а и х=b, определяется по формуле

(1)

 

Рис. 1

 

Для нахождения точек пересечения данных линий решаем систему уравнений

y= х²+4х,

у = х+4.

 

х²+4х=х+4, х²+3х-4=0, откуда x₁=- 4, х₂=1.

Применяя формулу (1), получим:

(кв.ед.)

 

Вопросы для самопроверки

 

1. Назовите задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

2. Напишите интегральную сумму для функции у= f (х) на отрезке [а; b]

3. Что называется определенным интегралом от функциями y= f (х) на отрезке [а; b]?

4. Каков геометрический смысл определенного интеграла?

5. Перечислите основные свойства определенного интеграла.

6. Чему равна производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования?

7. Напишите формулу Ньютона — Лейбница.

8. Напишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.

9. Как вычислить объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси Ох? оси Оу?

10. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования.

11. Сформулируйте понятие несобственного интеграла от разрывной функции.

Задания для контрольной работы

Задание 1

В задачах 1 – 20 найти указанные пределы.

1. а) б)

 

в) г) .

2. а) б)

в) г)

3. а) б)

в) г)

4. а) б)

в) г)

5. а) б)

в) г)

6. а) б)

в) г) .

7. а) б)

в) г)

8. а) б)

в) г)

9. a) б)

в) г)

10. а) б)

в) г)

11. а) б)

в) г)

12. а) б)

в) г)

13. а) б)

в) г)

14. а) б)

в) г)

15. а) б)

в) г)

16. а) б)

в) г)

17. а) б)

в) ; г)

18. а) б)

в) г)

19. а) б)

в) г)

20. а) б)

в) г)

 

Задание 2

В задачах 1 – 20 найти производные заданных функций:

1. а) б) в) .

2. а) б) в) .

3. а) б) в)

4. а) б) в) .

5. а) б) в)

6. а) б) в) .

7. а) б) в)

8. а) б) в)

9. а) б) в)

10. а) б) в)

11. а) б) в)

12. а) б) в) .

13. а) б) в)

14. а) б) в)

15. а) б) в)

16. а) б) в)

17. а) б) в)

18. а) б) в)

19. а) б) в)

20. а) б) в)

Задание 3

В задачах 1-20 исследовать функции методами дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проверить по следующей схеме: 1) найти область определения функции; 2) исследовать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы возрастания и убывания функции и ее точки экстремума; 5) найдите интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14. 15.

16. 17. 18.

19. 20.

 

 

Задание 4

Данную функцию z= f (x, y) исследовать на экстремум.

1. z= .

2. z= .

3. z= .

4. z=

5. z= .

6. z= .

7. z= .

8. z= .

9. z= .

10. z= .

11. z= .

12. z= .

13. z= .

14. z= .

15. z= .

16. z= .

17. z= .

18. z=

19. z= .

20. z= .

 

Задание 5

В задачах 1 – 20 найти указанные неопределенные интегралы и результаты интегрирования проверить дифференцированием.

1. а) б) в)

2. а) б) в)

3. а) б) в)

4. а) б) в)

5. а) б) ; в)

6. а) б) в) .

7. а) б) в)

8. а) б) в)

9. а) б) в)

10. а) б) в)

11. а) б) в)

12.а) б) в)

13. а) б) в)

14. а) б) в)

15. а) б) в)

16. а) б) в)

17. а) б) в)

18. а) б) в)

19. а) б) в)

20. а) б) в)

Задание 6

В задачах 1 – 10 вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

1. у = х³; у = 2. у = у = 6 – х.

3. у = у = 4 – х. 4. у = х²+2; у = 4 – х².

5. у = - х²+1; у = х – 1. 6. у = x² – 4x+4; y=x.

7. y = y = 4x. 8. y = y = 7 – x.

9. y = 3x²+1; y = 3x+7. 10. y = 2x – x²; y = - x.

В задачах 11 – 15 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

11. y² = x; y = x². 12. xy = 4; x = 1; x = 4; y = 0.

13.y = sin x (одна полуволна); y = 0. 14. y = x²+1; y = 3x – 1.

15.

В задачах 16 – 20 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

16. y² =4 – x; x=0. 17.

18. x + y – 2 =0; x=0; y=0. 19. xy =2; x=0; y=1; y=4.

20. y =-x²+4; x=0; y=0; y=3.

Литература

1 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике (ч. 1,2)./Письменный Д.Т.-М.:«Айрис-пресс»,2007.-282с., 253с.

2 Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике.(ч.1,2) -М.: «Айрис - пресс», 2008-574с.

Дополнительная литература

1 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие / Н.С. Пискунов. –М.: Интеграл-Пресс. -2007.Ч.1. -415с.

2 Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие / Н.С. Пискунов. –М.: Интеграл-Пресс. -2006. Ч.2.-544с.

3 Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математики в упражнениях и задачах. / Данко П.Е. Попов А.Г. и др. - М.: Высшая школа, т.1,2, 2006-304с, 416с.

4 Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов.-М.: «Юнити», 1999.-471с.