ПРАКТИКА № 18 Числовые ряды.

ПРАКТИКА № 18 Числовые ряды.

Задача 1. Найти сумму ряда. .

Решение. Чтобы разбить на группы слагаемых, часть из которых будет взаимно сокращаться, сначала разложим знаменатель на множители: затем надо разбить на простейшие дроби. = , откуда , , получаем систему , отсюда .

Тогда ряд можно представить так: = = Здесь для любого знаменателя, начиная от 3 и выше, всегда есть отрицательная дробь с таким знаменателем, а через 2 шага точно такая же положительная. Таким образом, сокращается всё, кроме .

Ответ. .

Выяснить сходимость.

Задача 2. Выяснить, сходится или расходится ряд .

Решение. По интегральному признаку Коши, можем рассмотреть несобственный интеграл, эквивалентный данному ряду по сходимости. = = = = .

Интеграл расходится, значит, и ряд расходится.

Ответ. Расходится.

Задача 3. Выяснить, сходится или расходится ряд .

Решение. Заметим, что для любого . Тогда ряд (по признаку сравнения) можно ограничить сверху другим рядом, < , который, в свою очередь, сходится, так сходится эквивалентный ему несобственный интеграл (заменяем по интегральному признаку Коши). Итак, ответ: ряд сходится (добавим, что сходится абсолютно, так как все слагаемые и так положительны).

Ответ. Сходится.

 

Задача 4. Выяснить, сходимость ряда .

Решение. По признаку сравнения в непредельной форме, , таким образом, этот ряд получается больше, чем некоторый расходящийся > . Гармонический ряд расходится, это было доказано в лекциях ранее. Поэтому ответ: расходится.

Замечание. Здесь есть и 2-й способ - по интегральному признаку Коши. Ряд эквивалентен интегралу = =

= .

Ответ. Расходится.

 

Выяснить сходимость по признаку Даламбера:

Задача 5. Выяснить, сходимость ряда .

Решение. Запишем предел отношения последующего (n+1) члена ряда к предыдущему (n). Модули здесь не особо нужны, так как все члены ряда и так положительны, т.е. если сходимость есть, то она заодно и абсолютная.

= = = =0.

Итак, , ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

Задача 6.

Решение. Запишем предел отношения модуля (n+1) члена ряда к модулю n-го. При этом мы отбрасываем знакочередование.

= = =

= .

Итак, , ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

Задача 7. Выяснить сходимость ряда: .

Решение. По признаку Даламбера.

, = .

Тогда = =

= = .

ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

 

Задача 8. Выяснить сходимость ряда .

Решение. По признаку Даламбера.

, Тогда = =

= = = = , ряд расходится.

Ответ. Расходится.

Задача 9. Выяснить сходимость ряда .

Решение. Здесь можно действовать по радикальному признаку Коши.

= = = =

используя 2-й замечательный предел, получаем . , ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

 

Задача 10. Выяснить сходимость ряда .

Решение. По радикальному признаку Коши:

= = = . Здесь даже не надо использовать 2-й замеч. предел, так как нет неопределённости: и числитель, и знаменатель стремятся каждый к конечному числу.

= = < 1, абсолютно сходится.

Так как мы изначально рассматривали модуль, то сходимость абсолютная.

Ответ. Сходится абсолютно.

 

Задача 11. Выяснить сходимость ряда .

Решение. Заметим, что , тогда . Таким образом, , то есть слагаемые не уменьшаются и не стремятся к нулю, тогда по необходимому признаку ряд расходится. Не выполнено необходимое условие сходимости (слагаемые должны уменьшаться к 0 при росте n).

Ответ. Расходится.

ПРАКТИКА № 19

Задача 1. Найти область сходимости ряда .

Решение. По радикальному признаку Коши, = , тогда , аналогичное неравенство можно получить и по признаку Даламбера:

= .

Это равносильно выполнению одновременно двух неравенств: .

Для правого неравенства, получаем , корни , оно верно для .

Для левого неравенства, , но это выполняется на всей числовой прямой, т.к. корней нет, а ветви этой параболы направлены вверх. Верно для . Пересечением этих двух множеств является интервал .

Также легко заметить, что в граничных точках ряд принимает вид

, расходится.

Ответ. абсолютно сходится в .

 

Задача 2. Найти область сходимости ряда .

Решение. По признаку Коши, = , тогда . Из правого неравенства следует , т.е. .

Из левого неравенства, , , .

Проверяем граничные точки. расходится,

, тоже расходится.

Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале .

Задача 3. Найти область сходимости ряда .

Решение. = =

.

В обеих граничных точках получим = , расходится.

Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале .

Задача 4. Найти область сходимости ряда .

Решение. =

.

В граничных точках получим и , эти ряды расходятся.

Ответ. Ряд абсолютно сходится в интервале .

 

 

ПРАКТИКА № 20

Первые 45 минут:

Повторение и контрольная работа на 30 минут (3 задачи).

1. формула Муавра.

2. Числовые ряды.

3. Функциональные ряды.

Вторые 45 минут:

Задача 1. Найти сумму ряда .

Решение. Здесь степень не соответствует коэффициенту, то есть прямое интегрирование или дифференцирование не избавит от наличия коэффициента. Производная равна а первообразная . Но вот если бы степень была (n-1) то всё бы получилось. Так вот, мы можем сделать сдвиг степени, и получить более удобное выражение, если вынести за скобку, то есть за знак ряда.

= = = .

Теперь обозначим новое выражение через и для него уже задача вполне решаема тем методом, который изучили ранее.

, где . Первообразная от это

= = = .

= = = . Вспомним про то, что мы отделили одну степень, чтобы улучшить функцию. А сейчас мы нашли . При этом . Тогда ответ = .

Ответ. = .

 

Задача 2. Доказать с помощью почленного дифференцирования формулу:

Решение.

но ведь это и есть геометрическая прогрессия и её сумма: .

Ряды Тейлора.

Задача 3. Разложить в ряд Тейлора: по степеням .

Решение. Сначала определим круг сходимости ряда. Центр в 0, так как требуется разложить по степеням , т.е. в ряде должны быть только степенные функции типа то есть центр 0.

Ближайшая точка разрыва это . Поэтому круг радиуса 2 с центром в нуле, т.е. .

Дальше, чтобы получать в знаменателе структуру типа , есть 2 пути: вынести за скобку либо либо 2.

= = либо

= = = .

Но ведь , поэтому а , так что первый вариант использовать нельзя, ведь там получилось бы и нельзя считать по формуле сходящейся геометрической прогрессии, для которой должно быть обязательно . Поэтому выносим за скобку именно константу, а не .

Итак, = = = это и есть требуемое разложение в степенной ряд Тейлора. Его можно также записать в виде .

Ответ. .

Задача 4. Разложить в ряд Тейлора: по степеням .

Решение. В данном случае расстояние от центра до ближайшей точки разрыва равно 3. Условие круга .

= = = =

Выражение по модулю меньше 1, так как . Поэтому можно рассматривать это как сумму некоторой сходящейся геометрической прогрессии. Тогда

= = .

Ответ. .

Задача 5. Найти для .

Решение. Рассмотрим разложение в ряд Тейлора. Прогрессия здесь не нужна, можно воспользоваться известной формулой для синуса.

= =

Здесь нам нужен только коэффициент при степени 10.

. Ответ. 10.

Задача 6. Найти для .

Решение. = = Извлекаем слагаемое при степени 8 и сравниваем его с теоретическим значением.

= = = .

Ответ. = 21.

 

ПРАКТИКА № 22. Ряды Фурье.

Задача 1. Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию на (-1,1).

Решение. Так как функция нечётная, то все коэффициенты и равны 0. Поэтому считаем только . Учитываем, что .

. Вычисляем интеграл по частям.

, , , . Тогда

=

так как косинус чётная функция, то далее = = = . Ответ. .

 

Задача 2. Разложить в триг. ряд Фурье на (-1,1)

Решение. Заметим, что функция нечётная. То есть, f это сумма нечётной и константы. Таким образом, коэффициенты здесь тоже окажутся равны 0. Надо вычислить и .

= = , .

. Вычисляем интеграл по частям.

, , , . Тогда

=

= = = = .

Ответ. Ряд Фурье: .

Замечание. Для поиска коэффициентов можно было воспользоваться результатом, полученным в задаче 1.

=

первое слагаемое содержит интеграл, равный в итоге а второе равно 0. Тогда = .

 

Задача 3. Найти ряд Фурье для

Решение. Здесь функция не является чётной либо нечётной, поэтому надо будет искать все коэффициенты.

При этом, на левой и правой части интервала надо считать отдельно, ведь там функция задана по-разному.

= = , .

. Первый интеграл вычисляется методом «по чсатям», второй просто в один шаг.

Кстати, для убодства вычислений можно раскрыть скобки и объединить так:

= . Тогда интеграле по частям остаётся не скобка, а только .

, , , . Тогда

=

= = =

= = .

=

В первом , , , . Тогда

=

= =

 

Ответ. Ряд Фурье: .

Ниже показан чертёж к этой задаче, получившийся в результате работы программы. Видно, что чем больше n, тем более точно кривая огибает ломаную.

Задача 4. Разложить в тригонометрический ряд Фурье: .

Решение. Здесь функция ступенчатая, поэтому вычислять интегралы по частям не придётся, будет в 1 шаг. Но разбивать на две части надо, т.к. функция задана по-разному справа и слева от 0. Кроме того, надо учесть, что здесь.

= = 6. Тогда . Кстати, это и есть средняя высота графика этой функции.

=

так как синус любого угла, кратного , есть 0. В ряде Фурье не будет косинусов. Впрочем, об этом можно было догадаться и сразу и не считать интегралы: ведь если сместить этот график вниз на 3, то получится нечётная функция.

= = притом здесь мы уже сразу учли чётность косинуса, что .

Итак, = = = .

Ответ. Ряд Фурье: .

Задача 5. Разложить в тригонометрический ряд Фурье на интервале (-1,1).

Решение. Сначала исследуем, что такое и как это выражение ведёт себя на разных частях интервала: .

Поэтому здесь на левой части интеграл считать не надо, он равен 0. Остаётся только на (0,1).

, . интегрируем по частям: , , , .

Тогда = =

= .

тоже по частям,

, , , .

Тогда =

= = .

Ответ. .

ПРАКТИКА № 23 (последняя).

1. Контрольная работа по рядам Тейлора, Лорана,Фурье.

2. Написание пропущенных контрольных задач за семестр.

 

 

Номера практик по датам для групп 446-1, 446-2 согласно расписанию

Практика №	446-1	446-2
	14.02.17	14.02.17
	21.02.17	17.02.17
	21.02.17	21.02.17
	28.02.17	28.02.17
	07.03.17	03.03.17
	10.03.17	07.03.17
	14.03.17	14.03.17
	21.03.17	17.03.17
	24.03.17	21.03.17
	28.03.17	28.03.17
	04.04.17	31.03.17
	07.04.17	04.04.17
	11.04.17	11.04.17
	18.04.17	14.04.17
	21.04.17	18.04.17
	25.04.17	25.04.17
	02.04.17	28.04.17
	05.04.17	02.05.17
	16.05.17	12.05.17
	19.05.17	16.05.17
	23.05.17	23.05.17
	30.05.17	26.05.17
	02.06.17	30.05.17

 

ПРАКТИКА № 18 Числовые ряды.

Задача 1. Найти сумму ряда. .

Решение. Чтобы разбить на группы слагаемых, часть из которых будет взаимно сокращаться, сначала разложим знаменатель на множители: затем надо разбить на простейшие дроби. = , откуда , , получаем систему , отсюда .

Тогда ряд можно представить так: = = Здесь для любого знаменателя, начиная от 3 и выше, всегда есть отрицательная дробь с таким знаменателем, а через 2 шага точно такая же положительная. Таким образом, сокращается всё, кроме .

Ответ. .

Выяснить сходимость.

Задача 2. Выяснить, сходится или расходится ряд .

Решение. По интегральному признаку Коши, можем рассмотреть несобственный интеграл, эквивалентный данному ряду по сходимости. = = = = .

Интеграл расходится, значит, и ряд расходится.

Ответ. Расходится.

Задача 3. Выяснить, сходится или расходится ряд .

Решение. Заметим, что для любого . Тогда ряд (по признаку сравнения) можно ограничить сверху другим рядом, < , который, в свою очередь, сходится, так сходится эквивалентный ему несобственный интеграл (заменяем по интегральному признаку Коши). Итак, ответ: ряд сходится (добавим, что сходится абсолютно, так как все слагаемые и так положительны).

Ответ. Сходится.

 

Задача 4. Выяснить, сходимость ряда .

Решение. По признаку сравнения в непредельной форме, , таким образом, этот ряд получается больше, чем некоторый расходящийся > . Гармонический ряд расходится, это было доказано в лекциях ранее. Поэтому ответ: расходится.

Замечание. Здесь есть и 2-й способ - по интегральному признаку Коши. Ряд эквивалентен интегралу = =

= .

Ответ. Расходится.

 

Выяснить сходимость по признаку Даламбера:

Задача 5. Выяснить, сходимость ряда .

Решение. Запишем предел отношения последующего (n+1) члена ряда к предыдущему (n). Модули здесь не особо нужны, так как все члены ряда и так положительны, т.е. если сходимость есть, то она заодно и абсолютная.

= = = =0.

Итак, , ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

Задача 6.

Решение. Запишем предел отношения модуля (n+1) члена ряда к модулю n-го. При этом мы отбрасываем знакочередование.

= = =

= .

Итак, , ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

Задача 7. Выяснить сходимость ряда: .

Решение. По признаку Даламбера.

, = .

Тогда = =

= = .

ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

 

Задача 8. Выяснить сходимость ряда .

Решение. По признаку Даламбера.

, Тогда = =

= = = = , ряд расходится.

Ответ. Расходится.

Задача 9. Выяснить сходимость ряда .

Решение. Здесь можно действовать по радикальному признаку Коши.

= = = =

используя 2-й замечательный предел, получаем . , ряд сходится (абсолютно).

Ответ. Сходится абсолютно.

 

Задача 10. Выяснить сходимость ряда .

Решение. По радикальному признаку Коши:

= = = . Здесь даже не надо использовать 2-й замеч. предел, так как нет неопределённости: и числитель, и знаменатель стремятся каждый к конечному числу.