Способы решения показательных уравнений

1. Построить графики двух функций (левая и правая части уравнения);

2. Найти абсциссы точек пересечения графиков;

3. Записать ответ.

Рассмотрим графический способ решения на примере уравнения 2 ^x = 4 Построим графики функций y = 2 ^x, y = 4 и найдем абсциссу точки пересечения графиков: x = 2

Ответ: x = 2

Графический способ можно применить не всегда, поэтому рассмотрим более универсальные основные аналитические способы решения показательных уравнений.

Аналитические способы:

1. Приравнивание показателей;

2. Вынесение общего множителя за скобки;

3. Введение новой переменной;

4. Использование однородности.

Рассмотрим каждый способ подробнее и разберем на примере.

Приравнивание показателей.

Суть метода:

1. Уединить слагаемое, содержащее переменную;
2. Привести степени к одному основанию;
3. Приравнять показатели;
4. Решить полученное уравнение;
5. Записать ответ.

Пример:

Ответ: x = 3

Вынесение общего множителя за скобки

Примечание: выносим за скобки множитель с меньшим показателем.

Пример:

Ответ: x = 1

Введение новой переменной

Как правило, уравнения, решаемые этим способом, сводятся к квадратным.

Пример:

Пусть 4 ^x = а тогда уравнение можно записать в виде:

Сделаем обратную замену:

4 ^x = 4 или 4 ^x = 1;
х = 1 или х = 0

Ответ: х = 1 или х = 0

Использование однородности

Определение Показательные уравнения вида называются однородными.

Суть метода: Так как показательная функция не может принимать значение, равное нулю, и обе части уравнения можно делить на одно и то же не равное нулю число, разделим обе части уравнения, например, на .

Пример: 2 ^x = 3 ^x

Разделим обе части уравнения на

Ответ: x = 0

 

 

Показательные неравенства

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

Теорема 2. Если a > 1, то неравенство af ^(x) > ag^(x) равносильно неравенству того же смысла: f (x) > g (x). Если 0 < a < 1, то показательное неравенство af ^(x) > ag ^(x) равносильно неравенству противоположного смысла: f (x) < g (x).

Пример 2. Решите неравенство:

Решение: представим исходное неравенство в виде:

Разделим обе части этого неравенства на 3^{2 x} , при этом (в силу положительности функции y = 3^{2 x} ) знак неравенства не изменится:

Воспользуемся подстановкой:

Тогда неравенство примет вид:

Итак, решением неравенства является промежуток:

переходя к обратной подстановке, получаем:

Левое неравенства в силу положительности показательной функции выполняется автоматически. Воспользовавшись известным свойством логарифма, переходим к эквивалентному неравенству:

Поскольку в основании степени стоит число, большее единицы, эквивалентным (по теореме 2) будет переход к следующему неравенству:

Итак, окончательно получаем ответ: