Вычисление площади плоской области.

Теорема 24(вычисление площади области в декартовойсистеме координат). Если f (x) определена, непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a, b ], то площадь множества выражается формулой:

. (16)

Множество Р называется криволинейной трапецией, порожденной графиком функции f (x) на [ a, b ].

□ Пусть некоторое разбиение [ a, b ]. Обозначим

∆ x_i = x_i - x_{i -1}; ∆ _i =[ x_{i -1}, x_i ]; h (T)= ; (i =1,2… n).

Также обозначим через p (T) и P (T) – множества, составленные из прямоугольников

; ; (17)

; . (18)

Рис.2

Поскольку , для любого разбиения T имеют место неравенства

. (19)

Из (17) и (18) получим, что .

Отсюда, т.к. прямоугольники и не имеют общих внутренних точек, следует что

;

.

Следовательно, площади многоугольников p (T) и P (T) равны соответственно нижней и верхним суммам Дарбу функции f (x) на [ a, b ]. Поэтому из (19) следует, что . Но, т.к. f (x) непрерывна на [ a, b ], то она интегрируема на этом отрезке, следовательно

.

По критерию интегрируемости верхний и нижний интеграл Дарбу совпадают и равны интегралу от f (x) по [ a, b ] (см. замечание к критерию интегрируемости). Переходя к пределу при h (T)→0 в неравенствах (19), получим

.

Следствие 1. Если функция f (x) непрерывная и неположительная на отрезке [ a, b ] и P ={(x, y): a ≤ x ≤ b, f (x)≤ y ≤0}, то

. (20)

□ Положим . Тогда множество P * симметрично множеству P относительно оси Ox. Тогда в силу (16):

Рис.3

.

Но μ(P*)=μ(P), тогда справедлива формула (20). ■ Следствие 2. Формулы (16) и (20) можно объединить в одну формулу. Если f (x) непрерывна и знакопеременна на [ a, b ], то площадь множества, заключенного между графиком функции и осью OX равна:

.

Примеры. 1) Вычислить площадь, образованную одной аркой синусоиды.

Решение. Область имеет вид (рис.4)

 

Рис.4

.

2)Вычислить площадь множества, ограниченного эллипсом.

Рис.5

Решение. Из канонического уравнения эллипса имеем:

Тогда площадь будет равна:

Следствие 3. Если функции f (x) и g (x) определены и непрерывны на [ a, b ], причем f (x)≥ g (x) x [ a, b ], то площадь области P, заключенной между графиками функций f (x), g (x) и прямыми x = a, x = b, равна:

. (21)

Рис.6

□ Пусть сначала f (x)≥ g (x); f (x)≥0 и g (x)≥0. По теореме, площадь множества Р равна разности площадей криволинейных трапеций, порожденных графиками f (x) и g (x)

.

Отсюда, учитывая линейное свойство интегралов, получается формула (21). Теперь пусть f (x) и g (x) имеют произвольные знаки на [ a, b ], но f (x)≤ g (x) x [ a, b ]. Пусть число . Сделаем замену: y ’= y + A.

Рис. 7

В системе координат (x, y ’) площадь фигуры ограниченную функциями f (x)+ A и g (x)+ A назовем P ’. Ясно, что P ’= P. Вычислим μ(Р ’) в (x, y ’), учитывая, что f (x)+ A ≥0 и g (x)+ A ≥0, по формуле (21) имеем:

.

Но, т.к. μ(P) = , то . ■

Пример. Найти площадь области, ограниченной кривыми y = x и y = x ²-2.

Решение. Найдем точки пересечения кривых.

 

Рис.8

Приравнивая ординаты, получим: x ²-2= x Тогда площадь будет равна

.

Теорема 25 (вычисление площади множества в полярной системе координат). Если функция определена и непрерывна на отрезке [α,β], то площадь множества P ={( φ,): α≤φ≤β, }, граница которой в полярной системе координат задана графиком r (φ) и лучами φ=α и φ=β (которые могут превращаться в точки) определяется по формуле:

(22)

□ Возьмем разбиение отрезка [α,β], где φ₀=α, φ_n=β, и положим

∆ φ _i= φ_i - φ_i-1, ∆ _i= [ φ_i-1, φ_i ], , , и h (T)= .

Выберем произвольные точки . Тогда p_i (T)={(φ, ): φ _{i -1}≤φ≤φ _i, 0≤ ≤ m_i } и P_i (T)={(φ, r): φ _{i -1}≤φ≤φ _i, 0≤ ≤ M_i } круговые секторы с углом ∆φ _i­, i =1,2…. n и радиусами m_i и M_i.

 

 

Рис.9

Обозначим ступенчатые фигуры, составленные из секторов p_i (T) и P_i (T), соответственно вписанные в P и описанные около множества Т. Тогда

p (T) P P (T) => μ(p(T))≤μ(P) ≤μ(P(T)).

По формуле для площади сектора имеем:

Поэтому

Здесь s (T) и S (T) – суммы Дарбу для функции . Тогда выполняется неравенство

, (23)

где - интегральная сумма для функции на отрезке . Так как функция непрерывна на , то тоже непрерывна и интегрируема на отрезке [ a, b ], а следовательно, выполняется критерий

.

Переходя в (23) к пределу при , по теореме сравнения получим, что справедлива формула (22). ■

Пример. Найти площадь множества Р, ограниченного кривой , которая называется кардиоидой.

.

Теорема 26 (вычисление площади множества, ограниченного кривой, заданной параметрически). Площадь множества, ограниченного простой гладкой замкнутой кривой , заданной параметрическими уравнениями

причем , определяется по формуле

(24)

Рис.10.

□ Для доказательства воспользуемся формулой (22). Рассмотрим полярную систему координат. Пусть А и С крайние точки , соответствующие полярным координатам и , причем точке А соответствует значение параметра начало кривой Г, а значение - соответствуют точке В – конец замкнутой кривой Г. Пусть соответствуют точке С. Из параметрических уравнений кривой Г и уравнений полярных координат в декартовой системе координат имеем

Площадь в полярной системе координат равна разности площадей двух криволинейных секторов и . По формуле (22), предполагая, что , получим

В силу. ■

Пример. Вычислить площадь, ограниченную эллипсом пользуясь формулой (24).

Решение. Запишемуравнение эллипса в параметрическом виде:

.

Тогда по формуле (24) имеем:

Вычисление длины кривой. Пусть Г – кривая на плоскости или в пространстве, заданная непрерывно дифференцируемой векторной функцией , т.е.

По определению, длиной кривой называется верхняя грань длин всевозможных ломанных вписанных в эту кривую, т.е. и, если , то кривая называется спрямляемой, и имеет конечную длину. Переменная длина дуги кривой , отсчитываемая от начала кривой Г, является возрастающей непрерывно дифференцируемой функцией параметра t и ее производная равна

.

Тогда длина кривой Г будет равна

.

По формуле Ньютона-Лейбница имеем

.

а) Если Г пространственная кривая, то

.

б) Если Г – плоская кривая, заданная параметрически уравнениями

,

то (25)

в) Если Г кривая является графиком функции y=f(x) на , то параметризуя ее уравнение , из (25) будем иметь:

(26)

г) Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением , причем функции непрерывны на . Уравнение кривой можно параметризовать, используя связь декартовой системы координат и полярной, приняв за параметр угол :

Подставим в (25) и, после преобразований, получим

(27)

Примеры. 1) Вычислить длину дуги верхней ветви полукубической параболы , если .

Решение. Из уравнения находим: Следовательно, по формуле (26) получим

2) Вычислить длину дуги одной арки циклоиды .

Решение. Из уравнений циклоиды находим:

Когда переменная изменяется на отрезке то параметр принимает значения на отрезке . Следовательно, искомая длина дуги будет равна:

3) Вычислить длину первого витка спирали Архимеда: .

Решение. Первый виток спирали образуется при изменении полярного угла от 0 до . Поэтому по формуле (26) искомая длина дуги равна