Вычисление определителей второго и третьего порядка

Вычисление определителей второго и третьего порядка

Задача №1 Вычислить определители 2-го порядка

Решение.

а)

в)

г)

е)

ж)

Задача №4 Вычислить определители третьего порядка

Решение.

1) Вычтем из первой строки третью, а затем в полученном результате последовательно из второй и третьей строки вычитаем первую.

.

 

4) раскрываем определитель по первому столбцу

5)

7)

11)

Вычитаем из первого столбцы второй и заменяем в третьем столбце cos2a, cos2b и cos2g по формуле косинуса двойного угла.

Если затем из третьего столбца вычесть первый, он превращается в нуль и, следовательно весь определитель будет равен нулю.

 

19) Прибавим ко второй строке первую, а затем к третьей первую.

 

Разложение определителей по строке (столбцу)

Задача №1. Вычислить алгебраические дополнения определителя

.

Решение.

 

Задача №5. Решить уравнение:

а) ; б)

Решение.

а) Раскрываем определитель по правилу треугольника.

 

.

Раскрываем скобки в выражении в квадратных скобках.

.

.

.

.

б)

.

.

.

.

.

.

Поделив этот многочлен на (х +2), находим

.

Откуда, находим: .

 

Действия с матрицами

Задача № 1. Пусть

.

Найти .

Решение. Применяем операции сложения матриц и умножения матрицы на число:

.

.

Задача № 2. Вычислить произведение матриц второго порядка:

Решение. По правилу умножения матриц

 

Задача № 3. Вычислить произведение матриц (AB) и (BA).

.

Решение. По правилу умножения матриц

Поменяем местами матрицы и снова вычислим их произведение

Полученный результат подтверждает, что от перестановки сомножителей произведение матриц изменяется.

 

Задача № 4. Найти обратную матрицу для матрицы

Решение. Найдем определитель матрицы, раскрывая его разложением по элементам второго столбца (т.к. а₂₃ =0).

Так как det A¹0, то обратная матрица существует. Подсчитаем алгебраические дополнения

Запишем присоединенную матрицу

Так как , то получаем следующий результат

Проверим полученный результат. Известно, что , тогда

 

Решение матричных уравнений.

Задача № 1. Найти матрицу из уравнения , где , .

Решение. Если умножим обе части уравнения слева на матрицу , то получим

, или , так как , .

Производя необходимые вычисления, найдем, что ,

следовательно, .

Задача № 2. Решить матричное уравнение

.

Решение. Имеем уравнение вида , решение которого , где

, .

Найдем обратную матрицу: . Сначала находим определитель :

.

Для определения присоединенной матрицы вычисляем алгебраические дополнения всех элементов:

,

получаем

.

Находим решение матричного уравнения:

.

 

Определение ранга матрицы.

Задача № 1. Найти ранг матрицы

A=

Решение. Вычтем из первой третью, из второй - первую и из четвертой строки - вторую

.

 

Умножим первую строку на (-1) и сложим ее со второй и четвертой строками. Затем умножим первую строку на (-0,5) и сложим с третьей.

Умножим вторую строку на (-1) и сложим ее м третьей и четвертой.

 

~ ~

Поменяем местами третью и четвертую строки

.

Получена матрица ступенчатого вида, эквивалентная исходной. Количество ненулевых строк равно 3, значит ранг матрицы равен .

 

Задача № 2. Найти ранг матрицы

Решение. Умножим вторую строку на (-1) и сложим ее с первой и четвертой

Умножим первую строку на (-1) и сложим ее с третьей

.

.

Вычисление определителей второго и третьего порядка

Задача №1 Вычислить определители 2-го порядка

Решение.

а)

в)

г)

е)

ж)

Задача №4 Вычислить определители третьего порядка

Решение.

1) Вычтем из первой строки третью, а затем в полученном результате последовательно из второй и третьей строки вычитаем первую.

.

 

4) раскрываем определитель по первому столбцу

5)

7)

11)

Вычитаем из первого столбцы второй и заменяем в третьем столбце cos2a, cos2b и cos2g по формуле косинуса двойного угла.

Если затем из третьего столбца вычесть первый, он превращается в нуль и, следовательно весь определитель будет равен нулю.

 

19) Прибавим ко второй строке первую, а затем к третьей первую.