Передаточная функция как форма записи диф. уравнения в теории автоматического управления

Передаточной функцией системы или элемента называют отношение выходной величины к входной при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция может быть записана в 4 формах:

1. операторная.

Введем в уравнение оператор дифференцирования «р» , тогда

D(p) – характеристический многочлен, а - характеристическое уравнение.

2. стандартная.

Преобразуем к виду:

это стандартная форма записи передаточной функции.

Величина называется коэффициентом передачи системы,

Величины - постоянные времени. Тогда примет вид:

3. в форме изображений по Лапласу.

Для получения передаточной функции в форме изображений по Лапласу используют преобразования, приводящие функцию действительного аргумента t в функцию мнимого переменного р.

- преобразование Лапласа

Рассмотрим уравнение/ Преобразуем функцию y(t) по Лапласу.

обратное преобразование Лапласа преобразует функцию комплексного переменного р в функцию действительного переменного t.

Свойства:

1).

2). Если , , то:

3).

4). если оригинал смещается на некоторую величину , причем и , то смещенная функция примет вид:

.

5). Если изображение смещается на р₀, то оно соответственно будет равно:.

6). Произведение 2 изображений равно:

7).

8). Свойство дифференцирования. Если и f(t) непрерывно дифференцируема, то производная порядка n будет равна:

9). Свойство интегрирования.

4. частотная.

Частотную форму передаточной функции можно записать в показательной форме, и тогда она примет вид:

Частотная передаточная функция, 3 формы ее записи.

В передаточной функции в форме преобразований по Лапласу р является комплексной переменной. Ее вид . Пусть (комплексная переменная является чисто мнимой), тогда получим передаточную функцию в частотной форме:

Частотную форму передаточной функции можно записать в показательной форме, и тогда она примет вид:

Соединение звеньев

При последовательном соединении выходная величина каждого предшествующего звена является входным воздействием последующего звена.

 

При преобразовании структурных схем цепочку из последовательно соединенных звеньев можно заменить одним звеном с передаточной функцией W_экв(p), которую находят следующим образом:

 

 

Записывают уравнения последовательно соединенных звеньев:

x₁(p)= x(p)∙W₁(p); x₂(p)= x₁(p)∙W₂(p), …;

y(p)=x_n-1(p)∙W_n(p).

Исключив из этой системы x₁, x₂, …,x_n-1, получим:

y(p)= W₁(p)∙W₂(p)∙ … ∙W_n(p )∙ x(p);

откуда

т.е. передаточная функция последовательного соединения звеньев определяется как произведение передаточных функций звеньев, включенных последовательно.

При параллельном соединении на вход всех звеньев подается один и тот же сигнал, а выходящие величины алгебраически складываются:

 

Эту цепь нужно заменить одним звеном с передаточной функцией W_экв(p):

 

 

 

Составим уравнения для каждого из звеньев цепочки:

x₁p)= x(p)∙W₁(p); x₂(p)=x(p)∙W₂(p); …;

x_n(p)=x(p)∙W_n(p); y(p)= x₁(p) x₂(p) … x_n(p)

Исключив из этой системы x₁, x₂,…,x_n, получим:

y(p)= x(p)[W₁(p)+W₂(p)+…+W_n(p)],

откуда

т.е. передаточная функция параллельного соединения звеньев определяется как алгебраическая сумма передаточных функций звеньев, включенных параллельно.