Дан тетраэдр DАВC. Точки М, N, Р являются серединами ребер DА, DВ, DС. Доказать, что плоскости МNР и АВС параллельны.

 

6. УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Определение: Углом между непараллельными прямыми т и п называется меньший из смежных углов, образованных пересекающимися прямыми т' и п', где т' || т, п' || п.

, , .

Замечание: Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

 

Определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен .

Обозначение:

 

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

 

Задача: Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁.

Найти: ; ; .

Решение:

По признаку параллельности двух прямых:

и , следовательно, . .

. , так как СDD₁С₁ является квадратом.

.

По признаку скрещивающихся прямых:

, следовательно, · .

, следовательно, .

.

Вывод:

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Определение: Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение:

 

 

Задача: Доказать, что через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную к данной плоскости.

Дано: g;

Доказать:

Доказательство (методом от противного):

Предположим, что через точку М проходит две различные прямые, перпендикулярные плоскости g: .

Через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость , пересекающая плоскость g по прямой т.

Получили, что в плоскости через точку М проведены два перпендикуляра к прямой т, что невозможно.

Следовательно, предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать. Через данную точку можно провести только одну прямую, перпендикулярную к данной плоскости.

 

Как проверить, перпендикулярна ли данная прямая к данной плоскости? Этот вопрос имеет практическое значение, например, при установке мачт, колонн зданий, которые нужно поставить прямо, т. е. перпендикулярно к той плоскости, на которую они ставятся. Оказывается, для этого нет необходимости проверять перпендикулярность данной прямой к любой прямой этой плоскости, как о том говорится в определении.

Докажем признак перпендикулярности прямой и плоскости.

 

Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Дано: , , , .

Доказать: .

Доказательство:

Чтобы доказать, что , докажем, что прямая т перпендикулярна произвольной прямой l, принадлежащей плоскости .

Пусть , . , если , т. е.

Дополнительные построения:

Через точку N, принадлежащую плоскости a, проведём прямые и , .

На прямых и от точки N отложим отрезки . Соединяя последовательно точки , получим прямоугольник АВСD (АС = ВD).

Прямая пересекает стороны АВ и СD соответственно в точках К и Р.

Точку М соединяем с точками .