Решение гиперболического разностного уравнения

Выражения (8.14) и (8.13) дают значения u для первых двух строк: j = 0 и j = 1.

Подставляя j = 1 в (8.11), получим

Все слагаемые в правой части этого уравнения включают значения u только из первых двух строк сетки.

Все эти значения известны из начальных условий. Поэтому в последнем уравнении имеется только одно неизвестное и все значения функции, соответствующие третьей строке, можно вычислить в явном виде.

Это же справедливо и для последующих строк. Систем уравнений решать не приходится. Таким образом, (8.11) представляет собой явную схему решения волнового уравнения.

Вопросы сходимости и устойчивости метода рассмотрим без доказательств.

Показано, что решение (8.11) (т. е. разностной схемы) сходится к решению волнового уравнения (8.7) (имеется в виду, что при h → 0 и k → 0 решение разностного уравнения асимптотически приближается к решению дифференциального уравнения), если l < 1 или, что то же самое,

k < h.

(8.15)

Это условие является достаточным для сходимости, но оно не является необходимым.

Другими словами, существуют уравнения и величины интервалов, при которых (8.15) не выполняется, но все же получается правильный результат.

Однако в общем случае при невыполнении (8.15) нельзя гарантировать сходимость.

Т. о., как только выбрана величина интервала разбиения h в направлении х, то появляется ограничение на величину интервала по времени.

Если необходимо произвести вычисления для большого отрезка t, может потребоваться большое количество шагов по времени.

При l > 1 метод становится неустойчивым, как в абсолютном, так и в относительном смысле. Т. е. любые ошибки возрастают в ходе вычисления решения.

Т.о., при решении уравнения (8.7) явными методами условие (8.15) обязательно должно выполняться.

Отличительная особенность всех явных методов: при их использовании должно соблюдаться некоторое условие типа (8.15), обеспечивающее сходимость и устойчивость методов.

Существуют также неявные методы решения гиперболических уравнений, не подверженные неустойчивости.

Обсудим их в следующем параграфе, посвященном решению параболических уравнений. Все основные идеи этого параграфа можно без труда обобщить на случай гиперболических уравнений.

8.3 ДУ в частных производных. Параболические уравнения

Уравнения параболического типа получаются, если в уравнении (8.1) выполняется условие B² – 4AC = 0.

Типичная физическая задача – процесс теплопередачи по длинному стержню, лежащему вдоль оси х от х = 0 до х = L.

Предположим, что в точке х = 0 температура поддерживается на уровне Т₀, а в точке х = L температура поддерживается на уровне T_L.

Предположим также, что в момент времени t = 0 распределение температуры вдоль стержня задавалось функцией f (x).

Тогда распределение температуры вдоль стержня во все последующие моменты времени дается решением уравнения

uxx = aut.

(8.16)

В уравнении (8.16) u – температура стержня в данной точке в данныймомент времени, постоянная а зависит от физических свойств стержня. Для простоты положим а = 1, так что уравнение сведется к виду:

uxx = ut.

(8.17)

Граничные условия:

u (0, t) = T0, u (L, t) = TL.

(8.18)

Начальное условие:

u (x, 0) = f (x).

(8.19)

Уравнение (8.17) представляет собой параболическое дифференциальное уравнение в частных производных.

Его называют уравнением теплопередачи, или уравнением диффузии.

При записи в разностной форме граничные условия (8.18) запишутся в виде:

u0, j = T0 ; j = 1, 2, …, un, j = TL ; j = 1, 2, …

(8.20)

Начальное условие имеет вид:

ui,0 = f (ih).

(8.21)

Чтобы преобразовать в разностную форму уравнение (8.17), введем сетку, охватывающую область 0 £ х £ L и t > 0 с интервалом разбиения h в направлении x и интервалом разбиения k в направлении t.

С использованием (7.1) и (7.3) получаем

(8.22)

где

l = k/h2.

(8.23)

В выражении (8.22) индекс i изменяется от 1 до n – 1, а индекс j – от 1 до ¥.

Верхний предел ошибки ограничения:

где

| u_xxxx | < M

при условии l ¹ 1/6.

При l = 1/6

где

| u_xxxxxx | < N.