Функция плотности состояний для электронов и дырок в полупроводниках.

Статистика равновесных носителей заряда в полупроводниках.

Связь уровня химического потенциала с концентрацией равновесных носителей заряда в невырожденных полупроводниках.

 

Очевидно, число электронов в кристалле единичного объема, занимающих состояния с энергиями в интервале от до будет равно:

(1)

Сначала будем рассматривать случай когда :

(2)

В данном случае электронный газ в зоне проводимости подчиняется классической статистике Максвелла. Классическая статистика описывает процессы при не высоких концентрациях электронов (электронный газ). Полупроводники, у которых равновесные носители заряда подчиняются статистике Максвелла, называются невырожденными. Условие должно выполняется всех энергий электрона находящего в зоне проводимости, в том числе и для минимальных энергий , т.е. , . Отсюда следует, что в невырожденных полупроводниках уровень химического потенциала лежит ниже дна зоны проводимости на величину не меньшую .

Очевидно, концентрация всех свободных электронов будет равна:

 

Так как под знаком интеграла стоит функция быстро убывающей с энергией, то верхний придел интегрирования можно заменить на бесконечность, тогда:

(3)

- эффективная плотность состояний в зоне проводимости, численно равная концентрации электронов в зоне проводимости, при условии, что уровень совпадает с дном зоны проводимости. Аналогично можно получить выражение для концентрации дырок в невырожденном полупроводнике:

- эффективная плотность состояний в валентной зоне.

В собственном полупроводнике уровень один и тот же в формулах (3) и (4).

Список литературы

К. В. ШАЛИМОВА Физика полупроводников Издательство «Энегия», Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10 1976 год

Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников, М., Наука, 1978

Бонч-Бруевич В.Л., Калашников С.Г., Физика полупроводников, изд. 2, М., Наука, 1990

Кардона М. Основы физики полупроводников. М., ФИЗМАТЛИТ, 2002.

Киттель Ч., Введение в физику твердого тела, М., Наука, 1978

 

Статистика равновесных носителей заряда в полупроводниках.

Функция плотности состояний для электронов и дырок в полупроводниках.

Носителями заряда (тока) называют электроны зоны проводимости и дырки валентной зоны. В общем случае в полупроводнике могут содержаться примеси как донорного, так и акцепторного типов. В этом случае при T > 0 K⁰ в результате теплового возбуждения электроны будут переходить в зону проводимости переходы (1, 2) и на акцепторные уровни переходы (3).

В результате тепловых переходов 1, 3, образуются носители заряда. Если бы тепловые переходы были единственными, то концентрация носителей заряда непрерывно возрастала бы со временем. С течением времени концентрация электронов была бы , однако эксперименты дают меньшее значение, это связано с тем, что наряду с тепловым возбуждением одновременно протекает обратный процесс – процесс рекомбинации. Это переходы носителей сверху вниз (переходы 1' – 3'). С течением времени устанавливается динамическое равновесие между процессами. В этом случае количество переходов в единицу времени снизу вверх равно количеству переходов сверху вниз. Носители заряда образованные в результате теплового возбуждения и соответствующие состоянию динамического равновесия называются равновесными носителями заряда.

В равновесном состоянии температура кристалла одинакова во всех его точках. В адиабатическом приближении считается, что тепловое движение кристаллической решетки влияет на вероятность заполнения носителями заряда состояний в зонах, но не на сами состояния. В полупроводниках, как и металлах, вероятность заполнения электроном энергетического уровня с энергией определяется функцией распределения Ферми-Дирака:

(1)

где - уровень химического потенциала. Эта функция распределения применима только к равновесным носителям заряда, что подчеркивается знаком ₀. Из (1) следует, что при T = 0 K⁰ все уровни с энергией заполнены электронами , а при уровни свободны от электронов. При T > 0 K⁰ “ступенька” в функции распределения размывается и появляется хвост кривой распределения. При любой T > 0 K⁰ вероятность заполнения уровня с энергией согласно (1) равна ½.

 

Значит, уровень химического потенциала — это такой уровень, который с одинаковой вероятностью может быть заполнен электронами и свободен от них.

(2)

(2) функция распределения Ферми-Дирака для дырок. Известно, что объем первой зоны Бриллюэна равен .

В зоне Бриллюэна число разрешенных волновых векторов N равно числу элементарных ячеек кристалла. Тогда, на одно разрешенное квантовое состояние будет приходиться объем обратного пространства равный:

где V – объем кристалла. В кристаллах единичного объема на одно разрешенное состояние приходится объем обратного пространства равный . Впредь будем рассматривать кристаллы единичного объема.

Найдем аналогичное выражение для числа состояний в кристаллах единичного объема, которые занимают электроны в интервале энергий от до . Для определенности будем рассматривать зону проводимости, дно которой лежит в центре зоны Бриллюэна ; такую зону имеют кристаллы кубической системы A₂B₆, A₃B₅. Как известна такой экстремум характеризуется одной компонентой эффективной массы, т.е. эффективная масса изотропная величина. Изоэнергетическая поверхность такого экстремума – сфера. На поверхности такой сферы лежат концы таких разрешенных волновых векторов, которые имеют одинаковые значения модуля волнового вектора .

Очевидно число состояний, которым соответствуют волновые вектора, модули которых имеют значение от до , равно отношению объема шарового слоя толщиной к объему пространства, приходящемуся на одно квантовое состояние :

(3)

Как известно для сферической изоэнергетической поверхности закон дисперсии имеет параболическую форму:

(4)

Из (4) следует, что

, ,

(5)

Подставим (5) в (3) и получим:

(6)

(6) определяет собой число квантовых состояний в кристалле единичного объема, которые занимают электроны с энергией в интервале от до .

 

(7)

(7) – функция плотности состояний для электронов зоны проводимости. Она определяет собой число состояний в кристалле единичного объема приходящегося на единичный интервал энергии вблизи энергии . Видно, что плотность состояний возрастает с энергией электронов, она больше в кристаллах с большей эффективной массой электронов. Видно, что она не зависит от температуры.

Для дырок валентной зоны функция распределения равна:

(8)

На рисунке площадь заштрихованного прямоугольника равна:

и численно равна числу электронных состояний в интервале энергий .

На зависимости функции плотности состояний от эффективной массы основан эффект Бурштейна-Масса. Он состоит в смещении края оптического поглощения в фиолетовую область спектра по мере легирования кристалла мелкими примесями.

Для примера рассмотрим два кристалла, которые имеют одинаковые характеристики, но разные эффективные массы электронов.

По мере легирования будет возрастать число электронов в зоне проводимости, при данных уровнях легирования интервал энергии, которые занимают электроны в зоне проводимости будет больше у первого кристалла .

Из диаграммы видно, что для межзонных оптических переходов, нужна энергия оптических квантов . Для того, чтобы наблюдать эффект Бурштейна-Масса необходимо выбирать полупроводники с малыми эффективными массами.

У непрямозонных полупроводников: германий, кремний, дно зоны проводимости лежит не в центре зоны Бриллюэна. В общем случае такие экстремумы характеризуются тремя компонентами эффективной массы: .

 

В этом случае выражение для функции плотности имеет вид:

(9)

где - эффективная масса плотности состояний, M – число полных эллипсоидов (долин), M_Si = 6, M_Ge = 4.

 

У Ge экстремум зоны проводимости лежит на границе зоны Бриллюэна в точках L на линии [111]. Так как точки L лежат на границе зоны Бриллюэна, то на нее приходится 8 полудолин, т.е. 4 полных долины.