Решение дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система Mathcad имеет ряд встроенных функций:

Rkfixed – функция для решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным шагом;

Odesolve – функция, решающая ОДУ блочным методом.

Ниже приведено описание стандартной функции Rkfixed с указанием параметров функции.

Rkfixed(y, x1, x2, p, D)

Аргументы функции:

Y – вектор начальных условий из K элементов (k – количество уравнений в системе);

X1 и X2 – левая и правая границы интервала, на котором ищется решение ОДУ или системы ОДУ;

P – число точек внутри интервала (x1, x2), в которых ищется решение;

D – вектор, состоящий из K-Элементов, который содержит первую производную искомой функции или первые производные искомых функций, если речь идет о решении системы.

Результатом работы функции является матрица из p+1 строк, первый столбец которой содержит точки, в которых получено решение, а остальные столбцы – сами решения.

Решение дифференциального уравнения 1-го порядка

Решение систем дифференциальных уравнений

При решении дифференциального уравнения первого порядка нужно создать вектор начальных условий из одного элемента Y1, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции Rkfixed Указывается имя вектора Y, границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0; 2), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D. В результате получается матрица Z, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомой функции, во втором – значения самой результирующей функции. При построении графика функции первый столбец полученной матрицы указывается как аргумент, второй столбец – как функция.

При решении системы дифференциальных уравнений нужно создать вектор начальных условий из двух элементов, например, вектор V, который затем используется при формировании вектора-функции правой части дифференциального уравнения. При обращении к функции Rkfixed Указывается имя вектора V, и границы интервала, на котором ищется решение уравнения, например, (0; 5), количество точек, в которых ищется решение – 100, вектор-функция, описывающая правую часть дифференциального уравнения – D. В результате получается матрица S, в первом столбце которой содержатся значения аргумента искомых функций, во втором и третьем столбцах – значения самих функций при соответствующем значении аргумента. При построении графика можно воспользоваться первым столбцом полученной матрицы как аргументом, а вторым и третьим столбцами – как функциями.

Пример решения дифференциального уравнения второго порядка с использованием функции Rkfixed. Необходимо решить дифференциальное уравнение второго порядка с заданными начальными условиями вида:

Для решения уравнения с помощью функции Rkfixed нужно выполнить замену переменных и привести дифференциальное уравнение второго порядка к двум дифференциальным уравнениям первого порядка.