Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность.

Определение 5. Пусть множество в , и каждой точке поставлено в соответствие единственное действительное число . В этом случае говорят, что на множестве Х определена числовая функция n переменных или функция нескольких переменных.

Правило, по которому устанавливается соответствие, обозначают некоторой буквой, например и пишут

или , .

Другими словами функция n переменных есть отображение множества на множество :

, где .

Множество Х является областью определения функции , а называют аргументом или независимой переменной. Функция называется элементарной, если она задана с помощью конечного числа арифметической операции и суперпозиций элементарных функций одной переменной.

Определение 6. Графиком функции называют множество точек связанных соотношением .

Примеры. 1) Функция является линейной функцией n переменных и называется гиперплоскостью. Область определения её все точки, принадлежащие .

2) Функция называется эллиптическим параболоидом. Если a=b, то это параболоид вращения. Область определения ее множество (нарисовать график).

3) Для функции область определения получается из условия . Откуда следует, что выполнятся неравенства (. Таким образом, областью определения являются концентрические кольца с центром в начале координат.

4) Функция n -переменных

называется квадратичной формой (квадратичная функция n переменных).

Пусть определяется на и есть предельная точка множества Х.

Определение 7 (О.Л. Коши 1789-1857 фр.). Число называется пределом функции в , если для любого положительного можно указать положительное число такое, что из выполнения условия для любого следует выполнение неравенства .

Это определение символически можно записать следующим образом:

: .

Определение 8. (Г.Э.Гейне 1821-1881 нем.). Число называется пределом в точке , если , сходящейся к следует, что последовательность сходится к .

Как и для функции одной переменной доказывается, что определения 7 и 8 равносильны. Предел функции многих переменных обозначается

 

или .

Пример. Найти .

Решение. Докажем, что предел равен 0. Выберем , возьмем , такое, что , удовлетворяющих условию и отличных от начала координат справедливо неравенство:

.

 

Для пределов функций нескольких переменных справедливы следующие утверждения, аналогичные соответствующим теоремам для функций одной переменной.

• Если имеет предел при , то он единственный.

• Критерий Коши. Для того, чтобы имела конечный предел при необходимо и достаточно, чтобы , такое что для из выполнения условий и следовало бы выполнение неравенства .

• Пусть и функции с общей областью определения и существуют пределы и . Тогда существуют пределы функций , и и имеют место равенства: , , , .

Определение 9. Число называется пределом функции при , если и записывается .

Определение 10. Пусть и , при . Если , то и называются бесконечно малыми одного порядка при . Если , то функции и называются эквивалентными при . Если , то функция называется бесконечно малой более высокого порядка по отношению к .

Определение 11. Число называют пределом функции по множеству в точке , если , такое что для произвольного из выполнения условия следует . Обозначение .

Это обобщение предела функции в точке, на тот случай, когда функция рассматривается не во всей окрестности точки , а на некоторой ее части.

Если есть непрерывная кривая Г, проходящая через точку , то называют пределом по кривой Г.

В частности, если Г – есть прямая линия с направленным единичным вектором , , то предел по Г называют пределом по направлению вектора .

Для функции n -переменных при можно рассматривать n, так называемые, повторные пределы. В частности для функции двух переменных можно рассматривать два повторных предела в точке :

и .

Если оба повторных предела существуют, то они не обязательно равны между собой.

Пример. Найти предел функции в точке .

Решение. .

.

Теорема 3. Если функция определена в , , за исключением может быть самой точки , существует предел и существуют пределы , тогда существуют и повторные пределы и , которые равны между собой и равны : .

□ По определению предела функции двух переменных имеем, что существует , такое что, если , то есть . Отсюда следует, что . Переходя к пределу в этих неравенствах при , получим, что при имеет место неравенство . Отсюда следует, что .

Таким образом, . Аналогично доказывается, что . <

Пусть определена на .

Определение 12. Функция называют непрерывной в точке , если – предельная точка множества X; – определена в точке и .

На языке «» последнее означает, что , такое, что .

Другими словами, если , то тогда

.

Если не является непрерывной в точке , то она называется разрывной в этой точке, а точку называют точкой разрыва. Можно доказать, что всякая элементарная функция является непрерывной в каждой точке, в которой она определена.

Примеры. 1) Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Функция всюду определена и непрерывна, кроме точки . Ранее было показано, что . Тогда точка (0, 0) является точкой устранимого разрыва, т.к. неопределенна, но предел существует и равен 0. Если доопределить , то получим непрерывную функцию.

2) Исследовать функцию на непрерывность.

Решение. Функции и непрерывны при всех как многочлены. По теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций вытекает, что и непрерывны. Так как при любых значениях и , то непрерывна.

Определение 13. Функция называется непрерывной намножестве , если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Как и для функций одной переменной справедливы следующие утверждения.

• Если функции и определены на множестве и непрерывны в точке , то в определены и непрерывны функции , , .

• Если определена и непрерывна в , тогда существует окрестность точки , в которой выполняется условие . Это означает, что функция ограничена в окрестности этой точки.

• Если определена и непрерывна в точке и , то существует такая окрестность этой точки, в которой сохраняет знак.

• Если функции , , …, непрерывны в точке , а функция непрерывна в точке , где , , то сложная функция непрерывна в точке .

Эти теоремы доказываются так же, как теоремы для функций одной переменной.Справедлива также теорема.

Теорема 4 (Коши о прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть непрерывна на линейно-связанном множестве , причем и значения в точках , а такое, что . Тогда на любой непрерывной кривой Г, соединяющей точки и , целиком принадлежащей Х существует такая точка , что .

 

ƒ Пусть , , …, , – параметрические уравнения кривой , соединяющей точки и из множества и . Тогда на отрезке определена сложная функция одной переменной , где . Очевидно, значение этой функции на отрезке совпадают со значениями на . По теореме о непрерывной сложной функции она непрерывна, а, следовательно, по теореме о прохождении промежуточных значений для функции одной переменной : . Поэтому в точке , координаты которой , , …, будет справедливо равенство . <

Определение 14. Функция называется равномерно-непрерывной на множестве , если для любого положительного найдется такое положительное число , что для и из множества Х таких, что при выполняется неравенство .

Это же определение на языке записывается следующим образом

.

Имеют место утверждения, аналогичные теоремам для функции одной переменной.

• Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то ограничена на этом множестве (первая теорема Вейерштрасса).

• Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то достигает на точных верхней и нижней граней, т.е. (вторая теорема Вейерштрасса).

• Если функция определена и непрерывна на ограниченном замкнутом множестве , то равномерно непрерывна на множестве (теорема Кантора).