Спектральный анализ токов и напряжений выпрямителей

Наличие в выпрямителях нелинейных элементов (тиристоры, диоды), а так же значительных индуктивностей в нагрузке, вызывает появление несинусоидального тока в питающей сети. Выпрямленное напряжение имеет пульсации, зависящие от схемы выпрямления и глубины регулирования. Мощные выпрямители, как правило, на стороне постоянного тока имеют большие индуктивности, ими являются обмотки машин постоянного тока и сглаживающие реакторы. Индуктивности эти многократно превышают эквивалентную индуктивность стороны переменного тока, поэтому такие выпрямители по отношению к питающей сети переменного тока ведут себя как источники тока высших гармоник. Направляемый в сеть ток на частоте гармоники имеет величину, не зависящую от параметров питающей сети. Так как источники тока связаны с частотой сети, то они являются периодическими. Из математики известно, что всякая периодическая функция , где Т – период, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Можно отметить, что функции, рассматриваемые в электротехнике, этим условиям удовлетворяют, в связи с чем проверка на их выполнение не требуется.. При разложении в ряд Фурье функция может быть представлена в следующем виде: . (1) Здесь - постоянная составляющая или нулевая гармоника; - первая (основная) гармоника, изменяющаяся с угловой частотой , где Т – период несинусоидальной периодической функции. В выражении (1) , где коэффициенты и определяются по формулам ; Коэффициенты ряда Фурье для стандартных функций могут быть взяты из справочной литературы или в общем случае рассчитаны по приведенным выше формулам. Однако в случае кривых, обладающих симметрией, задача существенно упрощается, поскольку из их разложения выпадают целые спектры гармоник. Знание свойств таких кривых позволяет существенно сэкономить время и ресурсы при вычислениях. Например: Кривые, симметричные относительно оси абсцисс. Это несинусоидальные токи в фазах питающей сети. К данному типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству . В их разложении отсутствуют постоянная составляющая и четные гармоники, т.е. . Кривые, симметричные относительно оси ординат. Это выпрямленное напряжение. К данному типу относятся кривые, для которых выполняется равенство . В их разложении отсутствуют синусные составляющие, т.е. . Кривые, симметричные относительно начала координат. К этому типу относятся кривые, удовлетворяющие равенству При разложении таких кривых отсутствуют постоянная составляющая (нулевая гармоника) и косинусные составляющие, т.е. .

Характеристики несинусоидальных величин

Для характеристики несинусоидальных периодических переменных служат следующие величины и коэффициенты (приведены на примере периодического тока):

1. Максимальное значение - .
2. Действующее значение - .
3. Среднее по модулю значение - .
4. Среднее за период значение (постоянная составляющая) - .
5. Коэффициент амплитуды (отношение максимального значения к действующему) - .
6. Коэффициент формы (отношение действующего значения к среднему по модулю) - .
7. Коэффициент искажений (отношение действующего значения первой гармоники к действующему значению переменной) - .
8. Коэффициент гармоник (отношение действующего значения высших гармонических к действующему значению первой гармоники) - .

 

Свойства периодических кривых, обладающих симметрией

Как было показано выше, действующим называется среднеквадратичное за период значение величины. При наличии аналитического выражения функции i(t) и возможности взятия интеграла от ее квадрата действующее значение i(t) определяется точно. Однако в общем случае на практике действующее значение переменной определяется на основе информации о действующих значениях конечного ряда гармонических.

Пусть

.

Тогда

Очевидно, что каждый из интегралов от тригонометрических функций в последнем выражении равен нулю. Таким образом,

или

.

Аналогичные выражения имеют место для ЭДС, напряжения и т.д.

 

Мощность в цепях периодического несинусоидального тока

Пусть

и .

Тогда для активной мощности можно записать

.

Как было показано при выводе соотношения для действующего значения несинусоидальной переменной, среднее за период значение произведения синусоидальных функций различной частоты равно нулю. Следовательно,

,

где .

Таким образом, активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей отдельных гармонических:

.

Аналогично для реактивной мощности можно записать

.

Полная мощность

,

где Т –мощность искажений, зависящая от степени отличия форм тока и напряжения.

 

Понятие об амплитудном и фазовом спектре сигнала

Простейшим периодическим (синусоидальным) сигналом является гармоническое колебание, которое можно записать в следующем виде:

где и - амплитуда, период, частота и начальная фаза соответственно.

Пусть заданная в интервале функция периодически повторяется с частотой , где - период повторения, причём выполняются условия Дирихле:

1. В любом конечном интервале функция непрерывна или имеет конечное число разрывов первого рода;

2. В пределах одного периода функция имеет конечное число максимумов и минимумов

Ряд Фурье в тригонометрической форме запишем в следующем виде:

……………… (2)

Здесь - среднее значение функции за период или постоянная составляющая, а и - амплитуды косинусоидальных и синусоидальных членов разложения .

Эти величины определяются выражениями:

……………. (3)

Выражение (2) можно представить в виде суммы только косинусоид или только синусоид, но с различными фазами, например

…………………….(4)

где амплитуда и фаза n-ой гармоники определяются выражениями

…………………………………………(5)

…………………………………………..(6)

Совокупность значений и называется спектром функции . График амплитудного спектра (5) изображён на рис. 1.

Рис 1. Графическое представление амплитудного спектра периодической функции.

Из выражения (5) и рис. 1 видно, что спектр периодической функции (сигнала) состоит из отдельных линий, отображающих в заданном масштабе амплитуды гармоник (5), соответствующих частотам и т.д. Такой спектр называется линейчатым или дискретным.

Для полной характеристики сигнала необходимо вычислить по формуле (6) фазу каждой гармоники и представить графически аналогично с амплитудным спектром, показанным на рис.1. Только по оси ординат в масштабе откладывают начальные фазы гармоник.