Численные методы решения задач электродинамики

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

И ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА

Методические указания по выполнению контрольной работы по дисциплине для студентов заочной и заочной сокращенной форм обучения направления 13.03.02 «Электроэнергетика

И электротехника»

 

 

Одобрено УМКН по направлению 13.03.02 «Электроэнергетика и

электротехника», протокол № __ от «__» _____________ 2015 г.

 

 

Саратов - 2015

 

Рецензенты: к.т.н., доцент, заведующий кафедрой «Автоматизированные электротехнологические установки и системы» Тригорлый Сергей Викторович; д.т.н., доцент, профессор кафедры «Автоматизированные электротехнологические установки и системы» Антонов Игорь Николаевич

 

Численные методы решения задач электродинамики и тепломассопереноса: метод. указания по выполнению контрольной работы по дисциплине для студентов заочной и заочной сокращенной форм обучения напр. 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника» / Саратовский гос. техн. ун-т им. Гагарина Ю.А.; сост.: В.С. Алексеев, В.А. Лаврентьев. - Саратов: СГТУ, 2015. – 44 с.

 

Учебное издание

 

Вадим Сергеевич АЛЕКСЕЕВ, Владимир Александрович ЛАВРЕНТЬЕВ

 

© Алексеев В.С., Лаврентьев В.А., 2015

© Саратовский государственный технический

университет имени Гагарина Ю.А., 2015

ВВЕДЕНИЕ

Контрольная работа – это одна из основных форм рубежного контроля студенческих знаний (как правило, для студентов заочной формы обучения). Цель контрольной работы заключается в оценке качества усвоения студентами отдельных, как правило, наиболее важных разделов, тем и вопросов изучаемой дисциплины, а также умения решать конкретные практические и теоретические задачи.

Тематика контрольных работ разрабатывается преподавателем, читающим данную дисциплину. Вариант контрольной работы (Приложение 2) определяется в порядке, установленном преподавателем: по последней цифре номера зачетной книжки, по фамилии, по списку группы. Замена варианта контрольной работы не допускается.

В контрольной работе должны быть правильно решены поставленные задачи. При написании контрольной работы студент должен использовать методические указания по выполнению контрольной работы, новейшую литературу по данной дисциплине, а также литературные и нормативные источники, рекомендованные преподавателем.

Проверка контрольной работы позволяет выявить насколько глубоко и полно студент усвоил соответствующие разделы или темы курса, имеются ли недоработки, пробелы в усвоении изучаемого материала. Положительной оценкой работы является «зачтено». За работы, не удовлетворяющие предъявляемым требованиям, выставляется «незачтено». Оценку «зачтено» выставляется работам, которые отвечают следующим требованиям:

• контрольная работа строго соответствует варианту, который определяется в соответствии с методическими указаниями;

• все вопросы задания раскрыты полно, четко и логически последовательно;

• контрольная работа выполнена студентом самостоятельно;

• контрольная работа оформлена в соответствии с настоящими рекомендациями.

Замечания, выявленные преподавателем в ходе проверки, фиксируются на полях работы. К рассмотрению не принимаются ксерокопии контрольных работ и работы, которые выполнены с нарушением установленных требований, Студент, контрольная работа которого не получила положительную оценку, не допускается к сдаче экзамена по дисциплине. Объем контрольной работы – 10-15 печатных страниц.

Контрольная работа регистрируется на кафедре в установленные сроки. Непредставление работы в срок является основанием не допуска студента к экзамену по данной дисциплине.

Структура контрольной работы

Структура контрольной работы по дисциплине «Численные методы решения задач электродинамики и тепломассопереноса» содержит следующие структурные элементы: титульный лист (Приложение 1); содержание; основная часть (решение задач с описанием процесса решения); заключение; список использованных источников.

Оформление содержания контрольной работы

Общий объем контрольной работы должен быть в пределах 10-15 печатных страниц, оформленных в соответствии с ГОСТ 2.105-95.

Студент выполняет текстовый вариант работы на белой бумаге формата А4 (210×297 мм). Текст работы должен быть изложен на одной стороне листа. Все буквы, цифры и знаки контрольной работы должны быть черного цвета. При согласовании с преподавателем допускается предоставление контрольной работы в рукописном виде.

Текст реферата, рисунки, формулы, таблицы, а также номера страниц не должны выходить за пределы двухсантиметровой рамки листа А4. Номера страниц должны быть проставлены в правом верхнем углу. При использовании текстового редактора Word, для выполнения этих условий необходимы следующие настройки:

• размер бумаги А4;

• поля слева – 3 см; сверху и снизу по 2 см; правое поле 1,5 см;

• номер страницы – правый верхний угол.

Основной текст контрольной работы набирается шрифтом Times New Roman, размер 14 пт, начертание обычное, через полуторный интервал, выравнивание по ширине страницы. Формулы набираются в формульном редакторе Microsoft Equation 3.0. Высота символов в формуле должна соответствовать размеру символов основного текста. Формулы выравниваются по центру. Для оформления таблиц и подписей к рисункам допускается Times New Roman, размер 12 пт.

Рекомендуемое количество использованных источников определяется преподавателем дисциплины, по которой выполняется контрольная работа.

Контрольная работа должна быть переплетена в обложку или помещена в папку–скоросшиватель (картонную или пластиковую).

Вместе с бумажной версией на кафедру должна быть сдана электронная версия контрольной работы. Название файла должно иметь вид: ФамилияИО_группа_год_7.doc.

 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Метод половинного деления

Найдем приближенно с точностью . Эта задача эквивалентна решению уравнения , или нахождению нуля функции . В качестве начального отрезка возьмем отрезок . На концах этого отрезка функция принимает значения с разными знаками: . Найдем число делений отрезка , необходимых для достижения требуемой точности. Имеем:

.

Следовательно, не позднее 6-го деления найдем с требуемой точностью, . Результаты вычислений представлены в табл.

	1,0000	1,0000	1,0000	1,1250	1,1250	1,1406	1,1406
	2,0000	1,5000	1,2500	1,2500	1,1875	1,1875	1,1562
	1,5000	1,2500	1,1250	1,1875	1,1406	1,1562	1,1484
Зн	-	-	-	-	-	-	-
Зн	+	+	+	+	+	+	+
	5,5938	0,7585	-0,2959	0,1812	-0,0691	0,0532	-0,0078
–	1,0000	0,5000	0,2500	0,1250	0,0625	0,0312	0,0156

 

Метод простой итерации

Пример 1. Используем метод простой итерации для решения уравнения с точностью . Преобразуем уравнение к виду:

, т. е. .

Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке . Вычислив значения на концах отрезка, получим: , а , т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки,

поэтому внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис. 7.

Рис. 7

Подсчитаем первую и вторую производные функции :

.

Так как на отрезке , то производная монотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка, т. е. в точке . Поэтому справедлива оценка:

.

Таким образом, условие выполнено, и можно воспользоваться критерием окончания вычислений. В табл. приведены приближения, полученные по расчетной формуле. В качестве начального приближения выбрано значение .

		0,8415	0,8861	0,8712	0,8774	0,8765

Критерий окончания выполняется при , . Сходимость двусторонняя, качественный характер такой сходимости представлен на рис. 4. Приближенное значение корня с требуемой точностью .

Пример 2. Решить методом простой итерации уравнение на отрезке с точностью 0,025. Для решения исходное уравнение приводится к виду . Для выбора величины используем приведенную выше формулу . Тогда расчетная формула имеет вид . В качестве начального приближения можно выбрать верхнюю границу заданного отрезка .

		0,8	0,78

Так как , то .

 

Метод Ньютона (касательных)

Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с точностью до 0,0001. Проведя отделение корня, можно убедиться, что корень локализован на интервале . В этом интервале и . Так как и , то за начальное приближение можно принять .

-11		-5183	0,6662
-10,3336	307,3	4276,8	0,0718
-10,2618	3,496	4185,9	0,0008
-10,261	0,1477	-	-

. Поэтому .

 

Метод хорд

Найти положительный корень уравнения с точностью . Отделим корень. Так как , , то . Разделим интервал пополам: , тогда .

Найдём производные: , . Исходя из того, что , то и пользуемся формулой (10): , .

, , .

Так как , то .

Комбинированный метод

Пример. Вычислить положительный корень уравнения . Так как , то .

, на , поэтому .

.

.

; .

Так как , то

; .

Так как , то .

 

Решение.

1) Начальные приближения можно определить графическим способом. Для этого перепишем систему в виде:

Первое из преобразованных уравнений определяет эллипс, а второе – гиперболу. Данная сис­те­ма имеет два решения. Для уточнения выбирают одно из них, принадлежащее области и .

За начальное приближение принимают и .

2) Находим

 

0,5	-0,1052		-8,76	49,32
-0,46	-0,3848		2,76
0,5742	0,0114	2,2968	-8,7306	51,2203
-0,4551	0,0052	5,1484	2,7306
0,5727	0,00006	2,2908	-8,7252	51,1375
-0,4542	-0,00011	5,1454	2,7252
0,5727
-0,4542

Поскольку , то .

Окончательный ответ: и .

 

Решение.

1) Приведем систему к форме:

 

2) Для нахождения начального приближения отделим корни. Построив два графика и и най­дя их точку пересечения, можно увидеть, что система имеет единственное решение, заключенное в об­ласти и .

3) Проверим приведенную систему на сходимость итерационного процесса:

Следовательно,

и т.е. условия сходимости выполняются.

4) Для поиска последовательных приближений используют формулы:

Выберем следующие начальные значения: .

 

	0,15	0,1616	0,1508	0,1539	0,1510	0,1519	0,1510
	-2	-2,035	-2,0245	-0,0342	-2,0313	-2,0341	-2,0333

Поскольку , то и .

 

Метод наименьших квадратов

Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения в точках , приведены в следующей таблице.

	-1

Вычислим коэффициенты по формулам для линейной и квадратичной аппроксимация ; .

Для линейной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена первой степени имеет вид:

.

Решая эту систему, получим:

.

.

Для квадратичной аппроксимации система уравнений определения коэффициентов и многочлена второй степени имеет вид:

.

И коэффициенты равны:

. Тогда

.

Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл. 3.

Таблица 3

	-1
	-1	0,7	2,4	4,1	5,8
	-1	0,62	2,24		6,9

Погрешность приближения в соответствии с исходными формулами составит:

.

.

 

Многочлен Лагранжа

Построить интерполяционный многочлен Лагранжа , совпадающий с функцией в точках

.

Решение. Составим таблицу

х	-2	-4/3		4/3
у

 

Подставляя эти значения в формулу Лагранжа, получим:

 

Решение.

х	у
	1,6990
		0,0414
	1,7404		-0,0036
		0,0378		0,0005
	1,7782		-0,0031
		0,0347
	1,8129

 

Здесь ; .

Вычисляя погрешность, получим:

.

 

Действительно, .

Таким образом, результаты совпадают до четвертого знака.

 

Литература

 

1. Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях [Электронный ресурс]: учебное пособие / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. - 3-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. - 240 с. - Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996322664.html. – ЭБС "Электронная библиотека технического ВУЗа".

2. Численные методы [Электронный ресурс] / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. - 7-е изд. (эл.). - М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. - 636 с. - Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996308026.html. – ЭБС "Электронная библиотека технического ВУЗа".

3. Коломоец, А. А. Численные методы и комплексы программ [Текст]: учеб. пособие по курсу "Математическое моделирование" для студ. всех спец. / А. А. Коломоец, М. А. Дергачева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Саратовский гос. техн. ун-т. - Саратов: СГТУ, 2011. - 64 с. – Экземпляров всего: 3. Имеется электронный аналог печатного издания.

4. Коломоец, А. А. Численные методы и комплексы программ [Электронный ресурс]: учеб. пособие / А. А. Коломоец, М. А. Дергачева; М-во образования и науки Рос. Федерации, Саратовский гос. техн. ун-т. – Электрон. текстовые дан. – Саратов: СГТУ, 2011. – 1 эл. опт. диск (CD-ROM). – Систем. требования: 128 МБ ОЗУ; 4х CD-ROM дисковод; Microsoft Office 2003 и выше; ПК Pentium III или выше. - Загл. с экрана. – б. ц.
Электронный аналог печатного издания. Диск помещен в контейнер 14х12 см. Режим доступа: http://lib.sstu.ru/books/zak 52_11.pdf.

5. Покровский В.В. Электромагнетизм. Методы решения задач [Электронный ресурс]: учебное пособие/ Покровский В.В. – Электрон. текстовые данные. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2011. – 120 c. – Режим доступа: http://www.studentlibrary.ru/book/ISBN9785996306411.html. – ЭБС «"Электронная библиотека технического ВУЗа»

6. Григорьев А.Д. Методы вычислительной электродинамики [Электронный ресурс]/ Григорьев А.Д. – Электрон. текстовые данные. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. – 432 c. – Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/33386. – ЭБС «IPRbooks».

 

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

 

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Кафедра «Автоматизированные электротехнологические установки и системы»

 

Контрольная работа по дисциплине

«Численные методы решения задач электродинамики

И тепломассопереноса»

 

Вариант №

 

Выполнил: ст-т гр. б1ЭЛЭТ-21

Иванов И.И.

№ зач. книжки

Проверил: к.т.н., доцент каф. АЭУ

Алексеев В.С.

 

 

Саратов - 2015

Приложение 2

Варианты заданий

1. Решить уравнение методом половинного деления, хорд с точностью .

 

 

2. Решить уравнение методом Ньютона и итерации с точностью .

 

 

3. Решить уравнение методом хорд и касательных и видоизменённым Ньютона с точностью .

 

4. Решить систему методом простой итерации с точностью .

	С	d		С	d

 

5. Решить систему методом Зейделя с точностью .

 

	А	b		A	b

 

6. Решить систему методом простой итерации с точностью .