Интегрирование дифференциального бинома

Интегралы типа , называемые интегралами от дифференциального бинома, где a и b – вещественные числа; - рациональные числа, берутся лишь в случае, когда хотя бы одно из чисел является целым числом.

Приведение подынтегральной функции к рациональной осуществляется с помощью следующих подстановок:

1) если p – целое число, то подстановка , где -наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n;

2) если - целое число, то подстановка , где s – знаменатель дроби p;

3) если - целое число, то подстановка , где s - знаменатель дроби p.

Во всех остальных случаях интегралы типа не выражаются через известные элементарные функции.

Пример.

Так как , то делаем подстановку . Таким образом

ГЛАВА 2. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ

1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Пусть функция определена и непрерывна на отрезке [a,b], где -∞< a<b<∞.

1. Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частичных отрезков .

2. В каждом частичном отрезке , где , выбираем произвольным образом точку и вычисляем значение функции в этой точке

3. Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка, получим .

4. Составим сумму всех таких произведений:

,

которая называется интегральной суммой функции на отрезке [a,b].

5. Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка , где . Перейдем в интегральной сумме к пределу при .

Определение. Определенным интегралом функции на отрезке [a,b] называется предел интегральной суммы , если этот предел существует, конечен и не зависит от способа составления интегральной суммы и обозначается

.

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, x – переменной интегрирования, отрезок [a,b] – отрезком интегрирования.

Имеет место следующее утверждение:

Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то определенный интеграл существует.

Перечислим свойства определенного интеграла