Символический метод расчета цепей переменного тока

Из теории комплексных чисел известно, что всякое комплексное число а+jb может быть изображено геометрически в виде точки, имеющей две координаты (рис.2.13). Одна координата является отрезком а на вещественной оси (+I), а другая координата b – отрезком на мнимой оси (+j).

 

 

С другой стороны эти координаты являются проекциями вектора А, соединяющего начало координат с точкой, изображающей данное комплексное число а+jb. Величина этого вектора называется модулем данного числа. Это же комплексное число может быть представлено в тригонометрической форме а+jb=A(cosφ+j sinφ).

И, наконец, комплексное число может быть представлено в показательной (эйлеровой) форме: а+jb=Ае^jφ, число е^jφ указывает, на какой угол φ и в какую сторону повернут вектор данного комплексного числа по отношению к вещественной оси.

Комплексные величины являются синусоидальными функциями времени (напряжение, ток) обозначают той же буквой, что и их модуль, но с точкой наверху; при обозначении других комплексных величин под буквой ставится горизонтальная черточка.

Рассмотрим теперь, как можно представить синусоидально изменяющиеся величины в виде комплексных чисел.

Возьмем простейшую цепь, состоящую из последовательно соединенных активного R и индуктивного X_L сопротивлений. При построении векторной диаграммы цепи совместим ось абсцисс плоскости декартовых координат с вещественной осью комплексной плоскости.

На векторной диаграмме вектор напряжения U разложим на составляющие: активную U = U cosφ и индуктивную U_L =U sinφ.

 

В тригонометрической форме комплексы тока и напряжения будут выглядеть так:

Ỉ = I и Ủ = U (cosj + j sinj).

 

В показательной форме: Ỉ = I и Ủ = Ue^jj

 

Приведенная запись синусоидально изменяющихся величин в виде комплексных изображений или символов называется символической, а действия над комплексами – символическим методом. Для последовательной цепи, состоящей из активного R и емкостного X_C сопротивлений комплексы тока и напряжения можно записать в следующем виде:

 

Ỉ = I и Ủ = U_А - jU_C или Ủ = U (cosj + j sinj) или Ủ = Ue^jj, где

 

 

С помощью комплексных чисел аналитически выражают треугольники сопротивлений и проводимостей. Активные сопротивления и проводимости записывают действительной (вещественной) составляющей комплексного числа, реактивное – мнимой. Знак мнимой части отображает характер реактивного сопротивления: индуктивное сопротивление учитывается со знаком плюс, емкостное – со знаком минус. Так для цепи с последовательным соединением активного и индуктивного сопротивлений комплексное сопротивление Z =R+jX_L или Z =Z е^jφ, для цепи с последовательным соединением активного и емкостного сопротивлений – Z =R-jX_C или Z =Z е ^–jφ.

Мощность в цепи переменного тока также можно представить в виде комплексного числа.

Напряжение на векторном участке цепи обозначим через Ủ = Ue^jj, ток на этом участке Ỉ = I e^jj, угол между напряжением и током

. Умножим комплекс напряжения на сопряженный комплекс тока Ỉ = I e^jj и обозначим полученный комплекс через Ŝ:

 

Ŝ = Ủ Ỉ = UI e^{j(yu - yi)} = UI e^jj = UI cosj + jUI sinj = P + jQ.

Значок ~ (тильда) над S обозначает, что речь идет о комплексе (а не о сопряженном комплексе) полной мощности, составленном при участии сопряженного комплекса тока I.

Комплекс мощности Ŝ равен произведению прямого комплекса напряжения на сопряженный комплекс тока.

Знак плюс у реактивной мощности соответствует индуктивному характеру сопротивления цепи, при емкостном характере был бы минус.

Сформулируем закон Ома и Кирхгофа в символической форме:

Закон Ома: Комплекс тока на участке цепи прямо пропорционален комплексу напряжения на нем и обратно пропорционален комплексу сопротивления: Ỉ = Ủ/ Z.

Первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сума комплексов токов в узле цепи равна нулю:

Второй закон Кирхгофа:

В любом замкнутом контуре алгебраическая сума комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов напряжений на его участках:

 

При использовании законов Ома и Кирхгофа в символической форме появляется полная аналогия в метод расчета цепей переменного и постоянного тока; все методы расчета электрических цепей постоянного тока применимы в символической форме к расчетам цепей переменного тока.

Задача № 2.1.

 

 

№ Варианта	U, B	, B	I, A

 

В электрической цепи переменного тока имеет место резонанс напряжений (рис. 2.14) при частоте питающего тока I. Используя данные, приведенные в табл. №2 для соответствующего варианта задания, определить показание вольтметра на зажимах катушки индуктивности, активное и индуктивное сопротивления катушки, показание ваттметра W, реактивную мощность катушки индуктивности, емкость С конденсатора, индуктивность и коэффициент мощности катушки. Построить векторную диаграмму тока I и напряжений в цепи. Показания вольтметра V_с включенного на зажимы конденсатора U_с, напряжение U приложенное к цепи, и показание амперметра A приведены в таблице.

 

А

I

W

 

		Rк

V

Vк

U

	Vс
		Lк
	С

Рис.2.14

Задача № 2.2.

№вар.

замкнуты

найти

В1, В4, В5, В7

В2, В3, В5, В6

В1, В3, В4, В5

В1, В4, В5, В7

В2, В3, В5, В6

В1, В3, В5, В6

В2, В3, В5, В7

В1, В3, В5, В6

В3, В4, В5, В7

В2, В3, В4, В5

В1, В4, В5, В7

В2, В3, В5, В6

В1, В3, В4, В5

В1, В4, В5, В7

В2, В3, В5, В6

В1, В3, В5, В6

В2, В3, В5, В7

В1, В3, В5, В6

В1, В4, В5, В7

В2, В3, В4, В5

 

Электрическая цепь переменного синусоидального тока (рис.2.15) с частотой , находящаяся под действием напряжения U, содержит активные сопротивления , реактивные индуктивные и реактивные емкостные сопротивления. По данным таблицы с учетом положения выключателей В₁ - В₇ определить для данного варианта задания приведенные в ней величины. Проверить токи по 1 – му закону Кирхгофа, проверить соблюдение баланса полных S, активных P и реактивных Q мощностей, построить векторную диаграмму напряжений и токов.

рис.2.15
3. Электрические цепи переменного трехфазного тока