Производные основных элементарных функций.

1)Степенные:

2)Показательные:

3)Логарифмические:

4)Тригонометрические:

 

5)Обратно-тригонометрические:

Производные высших порядков.

Очевидно, при дифференцировании элементарных функций снова получаются элементарные функции. В основном эти ф-ии имеют производную, тогда по отношению к исходной ф-ии эти производные будут второго порядка. Производной второго порядка называется производная от производной первого порядка. Аналогично дается определение производной n-го порядка. Производной n-го порядка называется производная от производной n-1 порядка.

=y; ; ;

 

Дифференциал функции.

Главная линейная относительно ∆х часть приращения ф-ии, отличная от самого приращения на б.м.в. более высокого порядка, чем ∆х, называется дифференциалом ф-ии. Обозначается дифференциал dy. dy = , где dx=∆х.

 

Понятие дифференциала функции.

Главная линейная относительно ∆х часть приращения ф-ии, отличная от самого приращения на б.м.в. более высокого порядка, чем ∆х, называется дифференциалом ф-ии. Обозначается дифференциал dy. Дифференциал dyназ-ют также дифференциалом 1-го порядка. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx=∆x. Поэтому формулу можно записать так: dy = .Дифференциал ф-ии равен произведению производной этой ф-ии на дифференциал независимой переменной. Дифференциал функции составляет основную часть ее приращения.

 

31:Основные теоремы о дифференциалах. 1)Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами: ,

, 2)Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

 

Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Как уже известно, приращение функции в точке X можно представить в виде , где при , или Отбрасывая бесконечно малую более высокого порядка, чем , получаем приближенное равенство , причем это равенство тем точнее, чем меньше Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции. Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула широко применяется в вычислительной практике.

 

Дифференциалы высших порядков.

Пусть дифференцируемая функция, а ее аргумент x – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функция x; можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается или

Дифференциалом порядка n, где n > 1, от функции z{\displaystyle ~z} в некоторой точке называется дифференциал в этой точке от дифференциала порядка (n — 1), то есть d^n z= d(d^n-1 z).

 

Таблица дифференциалов.

 

1.

2.

3.

4.

5.

6. ;

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

 

{\displaystyle ~d^{n}z=d(d^{n-135:Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях.

Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.

Теорема Ролля: Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале и на концах отрезка принимает одинаковые значения , то найдется хотя бы одна точка , в которой производная обращается в нуль, то есть . Теорема Коши: Если функция и непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

Теорема Лагранжа: Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство .

 

36: Правила Лопиталя. Теорема(Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида). Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки и обращаются в нуль в этой точке: . Пусть в окрестности точки . Если существует предел , то

либо не существует. Теорема (Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей вида ). Пусть функция непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки , в этой окрестности = , Если существует предел то . Правило Лопиталя применяется для раскрытия неопределенностей вида и , которые называют основными.

 

(Правило Лопиталя).

Пусть функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) эти функции дифференцируемы в окрестности точки , кроме, может быть, самой точки ;

2) и в этой окрестности;

3) ;

4) существует конечный или бесконечный.

Тогда существует и , причем

39. Первое и второе достаточные условия существования экстремума. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой δ-окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с плюса на минус, то есть точка максимума; с минуса на плюс - то есть точка минимума. Доказательство: Рассмотрим -окрестность точки . Пусть и . Тогда функция возрастает на интервале , а на интервале она убывает. Отсюда следует, что значение в точке является наибольшим на интервале , т.е. для всех . Следовательно есть точка максимума. Второе достаточное условие: Если в точке первая производная функции равна нулю (), а вторая производная в точке (), то при в точке функция имеет максимум, а при – минимум. Доказательство: Пусть Т.к. , то в достаточно малой окрестности точки . Если , то , если , то . Из этого следует, что при переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно есть точка минимума.