Дать определение модуля комплексного числа. Доказать свойства модуля.

Определение. Комплексным числомz=x+iy называется упорядоченная пара действительных чисел : .

Действительные числа х и у называются, соответственно, действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются:

Определение. Вещественное неотрицательное число:

называют модулем комплексного числа .

Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)

Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда

.

Теорема. (Свойства модуля комплексного числа.)

Пусть – произвольные комплексные числа и соответствующие точки на комплексной плоскости. Тогда:

1) и . Т.е. модульпроизведения комплексных чисел равен произведению их модулей и модули противоположных чисел равны;

2) расстояниемеждуточками и комплексной плоскости равно модулю разности соответствующих комплексных чисел: ;

3) ;

4) ;

Доказательство. 1) По предыдущей теореме имеем:

, где и ,

т.е. .

Таким образом, равенства и есть тригонометрическаяформа записи числа , следовательно, по теореме о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме записи, имеем , ч.т.д.

Далее, т.к. , то по только что доказанному свойству , ч.т.д.

Заметим, что последнее равенство можно получить и из других соображений.

Противоположные числа на комплекснойплоскости изображаются точками симметричными относительно начала координат. Действительно, пусть . Тогда и точки , имеют противоположные декартовые координаты. Значит, в силу симметрии, расстояния от этих точек до начала координат равны, т.е. , ч.т.д. Заметим, также, что такой же результат можно получить с помощью формулы (12) вычисления модуля комплексного числа.

2). Пусть , . Тогда и по формуле (12) имеем:

. (14)

С другой стороны, рассмотрим числа и как точки на комплексной плоскости. Тогда точка имеет декартовыекоординаты , а и искомое расстояниемежду ними вычисляется по формуле (14), ч.т.д.

3) Рассмотрим на комплекснойплоскости точки , и начало координат О. В общем случае эти три точки являются вершинами треугольника :

рис.6.

Воспользуемся известным свойством треугольника: длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух его других сторон.

Мы только что доказали, что длина стороны этого треугольника равна , а длины сторон и равны по определению модулям чисел и : , . Отсюда и получаем, что .

Заменим в последнем неравенстве число на противоположное число , тогда получаем:

, ч.т.д.

Заметим, что равенство в этих неравенствах достигается тогда и только тогда, когда треугольник вырождается в отрезок прямой, т.е. когда все три точки О, и лежат на одной прямой.

4) , откуда следует

. Поменяв местами и , получаем

, откуда и следует доказываемое неравенство.

Теорема доказана.