Признаки существования предела

Основные свойства функций.

 

Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

 

Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

 

Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

 

Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

 

Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

 

Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x. Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

 

Периодическость функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

5)

Линейная	y = kx		Прямая	Cамый простой частный случай линейной зависимости - прямая пропорциональность у = kx, где k ≠ 0 - коэффициент пропорциональности. На рисунке пример для k = 1, т.е. фактически приведенный график иллюстрирует функциональную зависимость, которая задаёт равенство значения функции значению аргумента.
Линейная	y = kx + b		Прямая	Общий случай линейной зависимости: коэффициенты k и b - любые действительные числа. Здесь k = 0.5, b = -1.
Квадратичная	y = x 2		Парабола	Простейший случай квадратичной зависимости - симметричная парабола с вершиной в начале координат.
Квадратичная	y = ax 2 + bx + c		Парабола	Общий случай квадратичной зависимости: коэффициент a - произвольное действительное число не равное нулю (a принадлежит R, a ≠ 0), b, c - любые действительные числа.
Степенная	y = x 3		Кубическая парабола	Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
Степенная	y = x 1/2		График функции y = √ x	Самый простой случай для дробной степени (x 1/2 = √ x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
Степенная	y = k/x		Гипербола	Самый простой случай для целой отрицательной степени (1/x = x -1) - обратно-пропорциональная зависимость. Здесь k = 1.
Показательная	y = ex		Экспонента	Экспоненциальной зависимостью называют показательную функцию для основания e - иррационального числа примерно равного 2,7182818284590...
Показательная	y = ax		График показательной функции	Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2x (a = 2 > 1).
Показательная	y = ax		График показательной функции	Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5x (a = 1/2 < 1).
Логарифмическая	y = ln x		График логарифмической функции	График логарифмической функции для основания e (натурального логарифма) иногда называют логарифмикой.
Логарифмическая	y = log ax		График логарифмической функции	Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2 x (a = 2 > 1).
Логарифмическая	y = log ax		График логарифмической функции	Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5 x (a = 1/2 < 1).
Синус	y = sin x		Синусоида	Тригонометрическая функция синус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
Косинус	y = cos x		Косинусоида	Тригонометрическая функция косинус. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
Тангенс	y = tg x		Тангенсоида	Тригонометрическая функция тангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".
Котангенс	y = сtg x		Котангенсоида	Тригонометрическая функция котангенс. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе "Движение графиков функций".

 

Обратные тригонометрические функции.
Название функции	Формула функции	График функции	Название графика	Комментарий
Арксинус	y = arcsin x		График арксинуса	Тригонометрическая функция обратная к y = sin x. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от −π/2 до π/2.
Арккосинус	y = arccos x		График арккосинуса	Тригонометрическая функция обратная к y = cos x. Определена на отрезке [−1; 1]. Принимает значения от 0 до π.
Арктангенс	y = arctg x		График арктангенса	Тригонометрическая функция обратная к y = tg x. Определена на множестве действительных чисел. Принимает значения на интервале (−π/2; π/2). Имеет асимптоты.
Арккотангенс.	y = arcctg x		График арксинуса	Тригонометрическая функция обратная к y = ctg x. Определена на множестве действительных чисел. Принимает значения на интервале (0 π). Имеет асимптоты.

 

6) Элементарные функции

· Трансцендентные

· Алгебраические

o Иррациональные

o Рациональные

§ Целые рациональные

§ Дробные рациональные

· Алгебраическими называют функции, составленные из букв и цифр, соединенных знаками действий сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень и извлечение корня.

· Другими словами: алгебраическими называют элементарные функции, которые могут быть получены из двух основных функций f(x)=x и f(x)=1 при помощи любого числа последовательно выполненных алгебраических действий (сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в целую степень, извлечение корня) и умножения на числовые коэффициенты.

· Например, функция является алгебраической.

· Алгебраические функции подразделяются на рациональные и иррациональные.

· Рациональные функции.

· Рациональными называются алгебраические функции, которые не содержат аргумент под знаком радикала (корня).

· Рациональные функции разделяются на целые рациональные функции (многочлены) и дробные рациональные (отношение многочленов).

· Пример целой рациональной функции: .

· Пример дробно-рациональной функции: .

· ПРИМЕЧАНИЕ:

· Рациональные функции могут содержать и иррациональные коэффициенты (главное, чтобы под знаком радикала не было аргумента функции). Например, - целая рациональная функция, а не иррациональная.

· Иррациональные функции.

· Иррациональными называются алгебраические функции, содержащие аргумент под знаком радикала (корня).

· Примером может являться функция .

· К началу страни

· Трансцендентные функции.

· Трансцендентными называют элементарные функции, которые не являются алгебраическими. (То есть, они образованы при помощи возведения в иррациональную степень, логарифмирования, с использованием тригонометрических и обратных тригонометрических операций).

· К примеру, - трансцендентная функция.

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ

Функция	Преобразование графика функции
	Параллельный перенос вдоль оси OY на A единиц вверх, если А>0, и на |A| единиц вниз, если А<0.
	Параллельный перенос вдоль оси OX на a единиц вправо, если a > 0, на | a |единиц влево, если a < 0.
	Растяжение вдоль оси OY относительно оси OX в k раз, если k > 1, и сжатие в 1/ k раз, если 0 < k < 1.
	Сжатие вдоль оси OX относительно оси OY в k раз, если k > 1, и растяжение в 1/ k раз, если 0 < k < 1.
	Симметричное отражение относительно оси OX
	Часть графика, расположенная ниже оси OX, симметрично отражается относительно этой оси, остальная его часть остается без изменения.
	Симметричное отражение относительно оси OY.
	Часть графика, расположенная в области x ³ 0, остается без изменения, а его часть для области x £ 0 заменяется симметричным отображением относительно оси OY части графика для x ³ 0.

7) Обычно степенными функциями называют функции вида у = х^r, где r-любое действительное число.

Целый ряд таких функций мы с вами уже изучили. Так, если r— натуральное число (r = п), то получаем функцию у = х^п; графики и свойства таких функций вам известны из курса алгебры 7—9-го классов. На рис. 180 изображен график функции у =х¹ (прямая), на рис. 181 изображен график функции у =х^г (парабола), на рис. 182 изображен график функции у =х³ (кубическая парабола). График

 

степенной функции у = хп в случае четного п (п =4, 6, 8,...) похож на параболу, а график степенной функции у = х" в случае нечетного п(п= 5, 7, 9,...) похож на кубическую параболу.

Если г = -п, то получаем функцию о таких функциях мы говорили в курсе алгебры 9-го класса. В случае четного п график имеет вид, изображенный на рис. 183; в случае нечетного п график имеет вид, изображенный на рис. 184.

Наконец, если г=0, т.е. речь идет о функции у=х°, то о ней и говорить неинтересно, поскольку это — функция у = 1, где ; график этой функции изображен на рис. 185.

 

 

 

8) Функция, заданная формулой y=ax (где a>0,a≠1 ), называется показательной функцией с основанием a.

Сформулируем основные свойства показательной функции:

1. Область определения - множество R действительных чисел.

2. Область значений - множество R+ всех положительных действительных чисел.

3. При a>1 функция возрастает на всей числовой прямой; при 0<a<1 функция убывает на множестве R.

ax1<ax2, если x1<x2,(a>1),

ax1>ax2, если x1<x2,(0<a<1)

4. При любых действительных значениях x и y справедливы равенства

axay=ax+yaxay=ax−y(ab)x=axbx(ab)x=axbx(ax)y=axy

Графики показательных функций изображены на рисунках:

1) для случая a>1

 

2) для случая 0<a<1

 

9) Функцию, заданную формулой y=logax, называют логарифмической функцией с основанием a.

(a>0,a≠1)

 

 

Основные свойства логарифмической функции:

1. Область определения логарифмической функции - множество всех положительных чисел.

D(f)=(0;+∞);

 

2. Множество значений логарифмической функции - множество R всех действительных чисел.

E(f)=(−∞;+∞);

 

3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает при a>1 или убывает

при 0<a<1.

10) Основными тригонометрическими функциями являются функции y=sin(x), y=cos(x), y=tg(x), y=ctg(x). Рассмотрим каждую из них в отдельности.

Y = sin(x)

График функции y=sin(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = cos(x)

График функции y=cos(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось.

2. Функция ограниченная. Множество значений – отрезок [-1;1].

3. Функция четная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным 2*π.

Y = tg(x)

График функции y=tg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π/2 +π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

Y = ctg(x)

График функции y=ctg(x).

Основные свойства:

1. Область определения вся числовая ось, за исключением точек вида x=π*k, где k – целое.

2. Функция неограниченная. Множество значение вся числовая прямая.

3. Функция нечетная.

4.Функция периодическая с наименьшим положительным периодом равным π.

11) Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции (круговые функции, аркфункции) — математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям.

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x. См. разделы Синус, косинус, Тангенс, котангенс.

y = arcsin x

Свойства функции arcsin

· (функция является нечётной).

· при .

· при

· при

·

·

·

 

 

y = arccos x

Свойства функции arccos

· (функция центрально-симметрична относительно точки ), является индифферентной.

· при

· при

·

·

·

·

·

 

 

y = arctg x

Свойства функции arctg

·

 

· , при x > 0.

 

· , при x > 0.

 

 

y = arcctg x

Свойства функции arcctg

· (график функции центрально-симметричен относительно точки

· при любых

·

 

12) Последовательностью называется функция, которая переводит множество натуральных чисел в некоторое множество :

Конечная или бесконечно удаленная точка числовой прямой называется пределом некоторой числовой последовательности действительных чисел, если какова бы ни была окрестность точки a, она содержит все члены рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера.

13) Число называется пределом функции на бесконечности или при , если для любого существует число такое, что для всех из того, что , выполняется неравенство .

Число называется пределом функциив точке , если для любой последовательности , которая сходится к , соответствующая последовательность значений функции сходится к .

14) Бесконечно малая величина — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.

Бесконечно малая[править | править вики-текст]

Последовательность {\displaystyle a_{n}} называется бесконечно малой, если {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=0}. Например, последовательность чисел {\displaystyle a_{n}={\dfrac {1}{n}}} — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки {\displaystyle x_{0}}, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=0}.

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=0} либо {\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=0}.

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=a}, то {\displaystyle f(x)-a=\alpha (x)}, {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }(f(x)-a)=0}.

Подчеркнём, что бесконечно малую величину следует понимать как переменную величину (функцию), которая лишь в процессе своего изменения [при стремлении {\displaystyle x} к {\displaystyle a} (из {\displaystyle \lim \limits _{x\to a}f(x)=0})] делается меньше произвольного числа ({\displaystyle \varepsilon }). Поэтому, например, утверждение типа «одна миллионная есть бесконечно малая величина» неверно: о числе [абсолютном значении] не имеет смысла говорить, что оно бесконечно малое.^[1]

15) Определения. Пусть при функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда:

2. Если , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка относительно g(x).

2. Если (конечен и отличен от 0), то f(x) называется бесконечно малой n-го порядка относительно g(x).

3. Если , то f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. Эквивалентность записывается так: .

 

16) Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Последовательность {\displaystyle a_{n}} называется бесконечно большой, если {\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }a_{n}=\infty }.

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки {\displaystyle x_{0}}, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to x_{0}}f(x)=\infty }.

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если {\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }f(x)=\infty } либо {\displaystyle \lim \limits _{x\to -\infty }f(x)=\infty }.

Как и в случае бесконечно малых, необходимо отметить, что ни одно отдельно взятое значение бесконечно большой величины не может быть названо как «бесконечно большое» — бесконечно большая величина — это функция, которая лишь в процессе своего изменения может стать больше произвольно взятого числа.

Если функция - функция бесконечно малая (), то функция есть бесконечно большая функция и наоборот.

17) Теорема 1. (о предельном переходе в равенстве) Если две функции принимают одинаковые значения в окрестности некоторой точки, то их пределы в этой точке совпадают.

Þ .

Теорема 2. (о предельном переходе в неравенстве) Если значения функции f(x) в окрестности некоторой точки не превосходят соответствующих значений функции g(x), то предел функции f(x) в этой точке не превосходит предела функции g(x).

Þ .

Теорема 3. Предел постоянной равен самой постоянной.

.

Доказательство. f(x)=с, докажем, что .

Возьмем произвольное e>0. В качестве d можно взять любое

положительное число. Тогда при

.

Теорема 4. Функция не может иметь двух различных пределов в

одной точке.

Доказательство. Предположим противное. Пусть

и .

По теореме о связи предела и бесконечно малой функции:

f(x)-A= - б.м. при ,

f(x)-B= - б.м. при .

Вычитая эти равенства, получим:

B - A = - .

Переходя к пределам в обеих частях равенства при , имеем:

B - A =0, т.е. B = A. Получаем противоречие, доказывающее теорему.

Теорема 5. Если каждое слагаемое алгебраической суммы функций имеет предел при , то и алгебраическая сумма имеет предел при , причем предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов.

.

Доказательство. Пусть , , .

Тогда, по теореме о связи предела и б.м. функции:

где - б.м. при .

Сложим алгебраически эти равенства:

f(x)+g(x)-h(x)-(А+В-С) = ,

где б.м. при .

По теореме о связи предела и б.м. функции:

А+В-С = .

Теорема 6. Если каждый из сомножителей произведения конечного числа функций имеет предел при , то и произведение имеет предел при , причем предел произведения равен произведению пределов.

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

.

Теорема 7. Если функции f(x) и g(x) имеют предел при ,

причем , то и их частное имеет предел при , причем предел частного равен частному пределов.

, .

Точка разрыва первого рода

Определение

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называется точкой разрыва первого рода.

Точка разрыва второго рода

Определение

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называется точкой разрыва второго рода.

22) Произво́дная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке).

Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

23) Вычисление производной функции у = f(x) производится по следующей схеме:
1) Находим приращение функции на отрезке :

2) Делим приращение функции на приращение аргумента:
3) Находим предел устремляя к нулю. Переход к пределу мы будем записывать с помощью знака lim:

ПРИМЕР 1

Задание	Найти производную от функции заданной неявно.
Решение	Перенесем выражение стоящее в правой части равенства, в левую часть:   Далее дифференцируем левую и правую часть последнего равенства:   Используя свойство линейности производной, получим:   Первое слагаемое дифференцируем как произведение:   при этом считаем, что есть функция от поэтому производную от него находим как производную от сложной функции:   Будем иметь:   Было учтено, что Итак, для заданной функции имеем:   Решаем полученное уравнение относительно функции
Ответ

26)

Предположим, что функциональная зависимость от не задана непосредственно , а через промежуточную величину — . Тогда формулы

задают параметрическое представление функции одной переменной.

Пусть функция задана в параметрической форме, то есть в виде:

где функции и определены и непрерывны на некотором интервале изменения параметра . Найдем дифференциалы от правых и левых частей каждого из равенств:

Далее, разделив второе уравнение на первое, и с учетом того, что , получим выражение для первой производной функции, заданной параметрически:

Для нахождения второй производной выполним следующие преобразования:

Задание. Найти вторую производную для функции заданной параметрически.

Решение. Вначале находим первую производную по формуле:

Производная функции по переменной равна:

производная по :

Тогда

Вторая производная равна

Ответ.

27)

28) ***

29) Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Определение

Дифференциалом-го порядка функции называется дифференциал от дифференциала -го порядка этой функции, то есть

 

Основные свойства функций.

 

Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

 

Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

 

Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

 

Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

 

Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен о