Математическое представление метода

С точки зрения математики процедура оценки полезности в рамках совместного анализа выглядит следующим образом.

Модель объекта, в данном случае YouTube канала, задана в виде набора характеристик и их значений. Они и их значения нумеруются как – число характеристик и {1,2, … k } – множество характеристик;

N_j – количество значений характеристик с номером j, j =1,.. k; {1,2,… N_j} – ряд значений характеристики с номером j, j =1,.. k. Величину

называют длинной общего ряда значений характеристик.

Подобный способ нумерации позволяет записывать профиль объекта как набор значений (l ₁, l ₂,…, l_k), где l _j ∈ {1,2,…, N_j }, j =1,…, k.

Это дает возможность сформировать список объектов, которые различаются значениями характеристик. Этот список включает в себя все возможные варианты, называется полным набором профилей. Если к модели добавить новую характеристику, число вариантов объекта возрастет во столько раз, сколько значений может принимать эта характеристика. Если модель объекта содержит k характеристик, а характеристика j может принимать N_j различных значений j = 1,… k, то полный набор профилей включает K профилей, где

Если профилей много, то респондентам трудно оценивать полезность каждого предложенного им варианта, и вместо полного набора, используют сокращенный набор профилей, иначе называемый ортогональным планом объема K * < K.

Набор профилей, в любом удобном виде, предлагается респондентам для оценивания, структура данных «на входе» модели совместного анализа, т.е оценки полезности профилей полученных от респондентов показаны в таблице 1.

Таблица 1. Структура результатов опроса (оценки полезности профилей).

Респондент	Варианты объекта
			…	K *
	U 11	U 12	U 13	…	U 1 K *
	U 21	U 22	U 23	…	U 2 K *
…	…	…	…	…
n	Un 1	Un 1	Un 1	…	UnK *

Где n – количество опрошенных, K * - ортогональный(сокращенный) план профилей, U_il – полезность конкретного объекта с номером l для респондента i. Величину полезности U_il определяет респондент.

 

Затем, на основе этих оценок, производится оценка полезности рядов значений характеристик – частных полезностей. Декомпозиция полезности объекта на полезность значений характеристик производится отдельно, как для каждого респондента, так и для всей совокупности опрошенных. Для этого используется модель вида:

где U (l ₁, l ₂,…, l_k) – полезность товара, со значением характеристик l ₁, l ₂,.., l_k, l_j ∈{1,2,…, N_j }, j = 1,…, k;

– полезность значения l_k атрибута с номером k, k = 1,…, k; (?)

f – функциональная зависимость, между полезностью товара и полезностью значений характеристики.

Рассматривается простая аддитивная модель:

где b ⁽⁰⁾ – константа.

Результат оценивания модели (1) состоит в том, что для респондента с номером i, i = 1,… n, определяются ряды полезности значений каждого из атрибутов и константу:

полезности значений 1, …, N₁ атрибута 1;

полезности значений 1, …, N₂ атрибута 2;

полезности значений 1, …, N _k атрибута k;

– константа.

Для совокупности респондентов в целом, определяют аналогичные величины, без индекса i.

Для оценки величин полезности характеристик объекта, по величинам полезности объекта, с точки зрения респондента с номером i, i = 1,… n; строится еще одна система описания вариантов объекта. Для каждой характеристики j для которой предполагается дискретная функция полезности, вводятся N_j -1 переменных , x ₁ ^(j), x ₂ ^(j), …, x_Nj -1 ^(j), которым для каждого профиля приписывают значения по следующим правилам:

1. Если атрибут j принимает значение l_j и в ряду возможных значений указанного атрибута значение l_j не является последним, значение новой переменной с верхним индексом j и нижним индексом l_j полагают равным единице, а значения всех остальных новых переменных с верхним индексом j полагают равными нулю: если s = l_j, если s ≠ l_j; s = 1, …, N_j – 1;

2. Если атрибут j принимает последнее возможное значение в ряду, т. е, значение l_j = N_j, все новые переменные с верхним индексом j принимают значение (-1): s = 1, …, N_j – 1

Для каждой характеристики с линейной функцией полезности, в новой системе описания вводится одна переменная, значения которой совпадают со значением характеристики из описываемого профиля, так же в эту систему описания объекта вводится константа x ⁽⁰⁾ = 1.

Для i -го респондента строится и оценивается регрессионная модель вида:

Уравнения строятся для всех вариантов объекта (D – число характеристик с дискретной моделью полезности). Параметры модели (величины , ,…, , ) оцениваются на основе метода наименьших квадратов, с применением либо специализированного программного обеспечения, либо иных программ с возможностями статистических вычислений. Полезность значений характеристики j с дискретной функцией полезности для i -го респондента, находят по правилу:

(здесь s = 1, …, N_j; j = 1, …, D; i = 1, …, n). Полезность значений атрибута j с линейной функцией полезности, для респондента с номером i находят по правилу:

(здесь j = D + 1, …, k; i = 1,… n, а x – значение характеристики).

Структура данных «на выходе» модели совместного анализа показана в таблице 2.

 

Таблица 2. Структура оцененной модели полезности.

Респондент	Атрибут 1	Атрибут 2	…	Атрибут k	Константа
		N1		N2	…		Nk
					…
…	…	…	…	…	…	…	…	…
n					…
Все					…

Здесь n – количество респондентов, k – количество характеристик, N_j – количество значений характеристики с номером j. В i -ой строке указаны величины:

– полезность значения s атрибута j для респондента i, i = 1, …, n; s = 1, …, N_j; j = 1, …, k; – константа модели для респондента с номером i, i = 1,…, n.

В маргинальной строке таблицы те же величины указаны без индексов i и характеризуют совокупность опрошенных респондентов в целом.

Поскольку модель (1) является регрессионной, то таблица 2, полученная на основе таблицы 1, исходные оценки можно переоценить. А именно объекту с номером l, характеристики которого имеют значения l ₁, l ₂,…, l_k, l_j ∈ {1,2,…, N _j}, j = 1,…, k, и респонденту с номером i, i = 1,…, n, ставится в соответствие новая величина вычисляемая на основе (1):

Величина называется предсказанной полезностью объекта l для респондента i, l =1,…, K; i = 1,…, n. Кроме указанных величин, модель (1) позволяет оценить величину

которая называется предсказанной полезностью товара l для всей совокупности опрошенных, l = 1,…, K. На основе (5) и (6) формируется таблица 3, аналогичная таблице 1.

 

 

Таблица 3. Представление предсказанных значений полезности.

Варианты объектов
Респондент				…	K
				…
				…
…	…	…	…	…	…
N				…
Все				…

 

На основе модели (1) оценивается важность характеристик объекта.

Абсолютным вкладом характеристики j в полезность объекта называют величину C_j:

Для того чтобы вычислить значение Cj, j = 1,…, k, нужно рассмотреть ряд полезности значений характеристики j и вычислить разность его максимального и минимального элементов.

Совместным вкладом в полезность объекта называют величину C:

Относительным вкладом (важностью) характеристики j в полезность объекта называют величину RC_j:

Для того, чтобы доказать, достаточно взять пару объектов L и M, которые отличаются только значением первой характеристики. Значения характеристик объекта L записываются как: (L, l ₂,…, l_k), где Значения характеристик объекта M записываются как: (M, l2,…,lk), где Тогда в силу (1) полезность объектов L и M отличается настолько, насколько отличаются полезности соответствующих значений первой характеристики:

Предположим, что объект M по первой характеристике является максимально полезным, а объект L – минимально. Тогда полезность объектов L и М отличается на величину

которая совпадает с величиной C ₁. Таким образом, величина C ₁ показывает, насколько можно изменить полезность всего объекта, меняя только первую характеристику, без изменения остальных.

Справедливо, что для любой величины C_j определенной формулой (7), изменение j -ой характеристики, покажет насколько можно изменить полезность всего объекта, меняя только одну характеристику.

Далее рассмотрим пару объектов, один из которых по всем характеристикам имеет наиболее полезные значения, а другой наименее. В соответствии с (1) разность полезности двух объектов:

Таким образом, величина C, определяемая формулой (8), показывает, насколько можно изменить полезность объекта, меняя значение всех его характеристик. Использование относительных величин RC_j, j = 1,…, k, придает сравнению атрибутов большую наглядность.