Определение настоящей величины постнумерандо. Бессрочный аннуитет.

Бессрочный аннуитет.

Аннуитет называется бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно долго. Математически это означает, что . Примером бессрочного аннуитета (вечной ренты) являются консоли – выпускаемые правительством некоторых стран облигации, по которым производят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет.

В этом случае прямая задача (определение будущей стоимости аннуитета) не имеет смысла, однако обратная задача (определение приведённой стоимости аннуитета) имеет решение. Поток платежей в постоянном бессрочном аннуитете при одном денежном поступлении С за период, являющийся базовым для начисления процентов по ставке i, представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . Для бессрочного аннуитета постнумерандо (см. (4.7)) имеем при :

, (6.1)

где .

Полученная формула показывает, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет всё же конечную приведённую стоимость. С финансовой точки зрения это понятно, т.к. деньги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят (а при высокой инфляции практически ничего не стоят). Эта же ситуация проявляется и при сравнении коэффициентов дисконтирования бессрочного аннуитета и аннуитетов с большим сроком. В таблице приведены значения .

Срок (n) аннуитета						∞
	9,7791	9,9148	9,9672	9,9873	9,9981

Из таблицы видно, что при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличаются друг от друга. С ростом процентной ставки i величина срока, начиная с которого коэффициенты дисконтирования аннуитета перестают сильно отличаться друг от друга, уменьшается (например, при i = 15% этот срок равен 40 годам). Таким образом, при больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведённой стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения приведённой стоимости бессрочного аннуитета, при этом полученный приблизительный результат будет не слишком отличаться от точного значения.

Задача. Определить текущую (приведённую) стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с ежегодным поступлением 4 200 руб., если предлагаемый государственным банком процент по вкладам равен 14% годовых.

(руб.).

Следовательно, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 30 000 руб., он представляет собой выгодную инвестицию.

Задача. У вас есть возможность инвестировать одинаковую сумму в один из двух проектов. Первый проект позволяет получить бессрочную ренту постнумерандо с ежегодными выплатами 15 000 руб.. Второй проект в течение двух лет принесёт соответственно 30 000 руб. и 80 000 руб.. какой из этих проектов лучше, если процентная ставка составляет 24% годовых?

Для сравнения проектов определим приведённые стоимости порождаемых ими денежных потоков.

Для оценки первого проекта имеем:

(руб.).

Для оценки второго проекта имеем:

(руб.).

Следовательно, второй проект предпочтительнее (заметим, что при процентной ставке менее 18,13% предпочтительнее будет уже первый проект).

Рассмотрим бессрочный аннуитет постнумерандо с денежными поступлениями p раз за базовый период и начислением сложных процентов m раз за базовый период. Переходя в формуле (4.11) к пределу при , получим:

. (6.2)

Задача. Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты пособий своим работникам. Определить сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого года 8 000 руб., если банк начисляет а) ежегодно сложные проценты по ставке 16%; б) ежеквартально сложные проценты по ставке 16%.

Денежный поток во всех случаях является бессрочным аннуитетом постнумерандо с С = 8 000 руб.. Найдём приведённую стоимость этого аннуитета.

а) (руб.).

б) (руб.).

Очевидно, предпочтительнее второй вариант.