Приложения двойного интеграла

1. Площадь поверхности

Пусть поверхность σзадана уравнением z = f (x, y), где f (x, y) имеет непрерывные частные производные первого порядка в некоторой замкнутой ограниченной области D плоскости хОу. Площадь поверхности σвычисляется по формуле

S =

Если уравнение поверхности задано в виде х = ψ(y, z) или у = η  (х, z), то площадь  вычисляется по формулам:

S = ,

S = ,

где D ’ и D ’’ - проекции на плоскостях yOz и xOz данной поверхности.

2. Масса пластины

Если пластина занимает на плоскости хОу область D и имеет переменную поверхностную плотность γ = γ(х, у), то масса m пластины выражается двойным интегралом

.

3. Статические моменты

Статические моменты пластины относительно осей Ох и Оу вычисляются по формулам:

, .

4. Координаты центра тяжести

Координаты центра тяжести пластины, имеющей плотность γ = γ(х, у), вычисляются по формулам:

, ,

где m - масса пластины, М_х, М_y - ее статические моменты.

Если пластина однородная, т.е. γ = const, то эти формулы принимают вид

, ,

где S - площадь пластины.

5. Моменты инерции

Моменты инерции пластины относительно осей Ох и Оу вычисляются по формулам:

, .

Момент инерции относительно начала координат равен

.

6. Геометрические моменты инерции

Полагая в формулах для I_x, I_y и I_o γ (х, у) = 1, получим формулы для вычисления геометрических моментов инерции:

, , .

 

Пример 1.1. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена прямыми y = x, y = 2 x, x = 1.

Рис. 1.8

Решение. Построим область интегрирования D (рис.1.8). Область принадлежит первому виду, поэтому интеграл будем вычислять по формуле (1.2). В данном случае a =0, b =1, y ₁(x) = x, y ₂(x) = 2 x, подынтегральная функция - f (x, y) = xy.

.

Вычислим сначала внутренний интеграл, считая х постоянным, а затем найдем внешний интеграл.

.

Ответ:3/8.

Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл , если область D ограничена окружностями x ² + y ²= x, x ² + y ²=2 x.

Решение. Преобразуем уравнения окружностей:

x ² + y ²= x Þ

Þ

Þ ,

Рис. 1.9

x ² + y ²=2 x Þ

Þ

.

Первая окружность имеет центр в точке (1/2; 0) и радиус 1/2, вторая окружность имеет центр в точке (1; 0) и радиус 1 (рис. 1.9).

Запишем уравнения окружностей в полярных координатах:

x ² + y ²= x Þ ρ² cos ²φ+ ρ² sin ²φ = ρ cos φ Þ ρ = cos φ;

x ² + y ²=2 x Þ ρ = 2 cos φ.

Для точек области D полярный угол jизменяется от - до , а полярный радиус ρ  от кривой ρ₁ = cos φ  до кривой ρ₂ = 2 cos φ. Найдем интеграл по формуле (1.3).

.

Ответ: .

 

1.2. ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

 

Рис. 1.10

Пусть T - ограниченная замкнутая пространственная область, и пусть функция f (x, y, z) определена в области T (рис. 1.10). Р азобьем область T произвольно на n частей и обозначим их объемы соответственно ∆ V₁, ∆ V₂, ∆ V₃,..., ∆ V_n. В каждой частичной области ∆ V_i возьмем произвольную точку М_i (x_i, y_i, z_i) и составим интегральную сумму

. (1.4)

Определение. Тройным интегралом от функции f (x, y, z) по области T называется предел сумм (1.4) для различных разбиений при условии, что наибольший диаметр частей ∆ V_i стремится к нулю. Обозначается символом

.

Итак,

.