Минимизация затрат предприятия

Оптимизация использования производственных ресурсов

Одного и того же производственного результата можно достичь при разном сочетании производственных факторов, например труда и капитала. Если нет ограничений на ресурсы и задан объем производства, то это - задача определения условного экстремума функции производственных затрат. Если заданы ограничения по использованию ресурсов и стремятся к максимуму прибыли предприятия, то это задача линейного программирования. При использовании двух производственных факторов данную задачу можно решить графическим способом, при большем их числе следует использовать симплекс-метод. Порядок оптимизации использования производственных ресурсов для указанных выше случаев поясним далее на примерах решения задач.

 

Аналитический способ решения задач

Задача 1. На месторождении необходимо пробурить 20 скважин. Производственная функция имеет вид:

n = 4Х₁^1/2Х₂^3/2,

где п - число пробуренных скважин; Х₁ - число часов работы бригады; Х ₂ - число буровых установок.

Зарплата бригады 300 д.е./ч, стоимость буровой установки – 5000 д.е.

Требуется определить оптимальное количество производственных факторов из условия минимума издержек производства (С).

Решение:

Составим математическую модель формулировки задачи:

С = 300Х₁ +5000Х₂ → min

при условии: 4Х₁^1/2Х₂^3/2= 20, 20 = 4Х₁^1/2Х₂^3/2 Х₁ =

С = 300 + 5000Х₂ =7500Х₂^-3 + 5000Х₂,

(1)

Из системы уравнений (1) Х₂ = 1.45, но Х₂- число буровых установок (целое число) Х₂= 1 или Х₂ = 2.Если Х₂ = l, тo Х₁ = 25 и С = 12 500.

Если Х₂ = 2, то X₁ = 3,125 и С = 10937,5.

Ответ: Если использовать две буровые установки и бригаду рабочих на 3,125 ч, то 20 скважин пробурят с минимальными издержками.

Графический способ решения задач

Задача 2

Предприятие закупает нефть у двух поставщиков и производит 3 вида продукции - бензин, керосин, мазут. Относительная прибыль от продажи продуктов, полученных после переработки 1т нефти первого поставщика, составляет 500 д.е., второго поставщика — 600 д.е. Есть ограничения на сбыт каждого вида продукции (см. таблицу). Определить, сколько тонн нефти нужно покупать у поставщиков в день, чтобы прибыль была максимальной?

Нефтепродукт	Поставщики	Ограничения на продажу
первый	второй
Бензин, т	0,2	0,3	1,8
Керосин, т	0,2	0,1	1,2
Мазут, т	0,3	0,3	2,4

Трактовка таблицы: из 1 т нефти первого поставщика можно получить 0,2 т бензина, 0,2 т керосина, 0,3 т мазута. Продав эти продукты, можно получить прибыль 500 руб., но предприятие не может продать в день больше, чем 1,8 т бензина, 1,2 т керосина, 2,4 т мазута.

Решение:

Введем обозначения: Q₁ - количество тонн нефти, купленное у первого поставщика; Q₂ - количество тонн нефти, купленное у второго поставщика.

Составим математическую модель задачи.

Максимизируемая функция прибыли:

F= 500 Q₁ +600 Q ₂ → max.

Ограничения сбыта:

0,2 Q ₁ + 0,3 Q ₂ 1,8; (1)

0,2 Q ₁ + 0,1 Q ₂ 1,2; (2)

0,3 Q, ₁+ 0,3 Q ₂ 2,4; (3)

Q ₁ 0; Q ₂ 0.

Задачу решим графическим способом. Строим область допустимых значений используемых ресурсов (рис. 1), далее определяем значения функции прибыли в пограничных точках области: F_A = 3600; F_В = 4050; F_С = 3000.

В точке В прибыль максимальна, т.е. значения О₁ и О₂ в точке В являются решением задачи.

Ответ: Для максимизации прибыли предприятие должно в день покупать 4,5 т нефти у первого поставщика и 5 т у второго поставщика.

Симплекс-метод

Ниже приведен пример решения задачи симплекс-методом. Хотя сегодня есть масса программных комплексов, реализующих симплекс-метод, и от пользователя требуется лишь грамотно ввести исходные данные в симплекс-таблицу, мы считаем полезным знание формальной процедуры метода.

Задача 3

Предприятие производит 3 вида продукции из 2 видов ограниченных ресурсов. Запасы первого вида ресурса составляют 6 ед., запасы второго - 15 ед. Определить оптимальную производственную программу (см. таблицу).

Вид продукции	Прибыль от продажи единицы продукции	Расход ресурсов на 1 ед. продукции
1-й вид ресурса	2-й вид ресурса
2

Рис. 1. Построение области допустимых значений используемых ресурсов

Решение: Обозначив через Х₁, Х₂, Х₃ - количество производимой продукции трех видов, составим математическую модель задачи:

5 Х₁ + 3Х₂ + Х₃ ® max;

Х₁ + Х₂ + 3Х₃ ≤ 6;

5Х₁ + 3Х₂ + 6Х₃ ≤ 15;

Х₁ ≥ 0; Х₂ ≥ 0; Х₃ ≥ 0;

На первом этапе заполняем симплекс-таблицу:

X1	Х2	Х3	Y1	Y2
-5	-3	-1

 

Смысл переменных Y₁, Y₂:это остатки ресурсов 1-го и 2-го видов после реализации производственной программы.

На втором этапе выбираем минимальный коэффициент из первой строки {-5} и выделяем столбец таблицы, соответствующий этому коэффициенту.

На третьем этапе выбираем строку, для которой отношение коэффициента в последнем столбце к коэффициенту в выделенном столбце {6/1; 15/5} минимально, и выделяем эту строку.

Далее пересчитаем коэффициенты симплекс-таблицы по следующему правилу. Значение нового коэффициента (a _новое) а каждой ячейке таблицы равно его старому значению (а _старое ) минус произведение противолежащих в выделенных строке и столбце коэффициентов (а_s,а_r), деленных на коэффициент в пересечении а₀ (смотри на схеме ниже): a _новое= а _старое -

	аs	←	а старое
			↓
	а0		аr

Если после пересчета всех коэффициентов в первой строке таблицы остаются отрицательные коэффициенты, то снова повторяем все действия, начиная со второго этапа, до тех пор, пока в первой строке не останутся только положительные коэффициенты.

В нашем случае было достаточно одного пересчета. Новая симплекс-таблица имеет следующий вид:

Х1	Х2	Х3	Y1	Y2
				-

Исходя из симплекс-таблицы, получим следующее решение:

Х₁ = 3; Х₂ = 0; Х₃ = 0; Y₁ = 3;Y₂ = 0.

Ответ: Предприятие получит максимальную прибыль, если будет выпускать продукцию только первого вида в количестве 3 ед. При этом второй вид ресурса будет использован полностью, а остаток первого вида ресурса составит 3 ед. Прибыль предприятия составит 15 ед.