Вычисление широты по длине дуги меридиана

Поставим задачу, обратную только что решённой: найти широту по заданной длине дуги меридиана. Эта задача решается методом обращения тригонометрических рядов.

Формулы обращения тригонометрических рядов:

(82)

(83)

(84)

(85)

(86)

 

- 32 -

 

Найдя численные значения коэффициентов по элементам эллипсоида Красовского, получим ряд для вычисления широты в радианах в следующем виде:

 

(87)

 

где

(88)

 

Погрешность результата вычислений по формуле (87) не превосходит

и соответствует точности вычислений по формуле (80).

 

При пониженных требованиях к точности применяют более простую формулу

(89)

 

по которой значение широты определяется погрешностью, выраженной в градусной мере, менее 0,005".

 

Вычисление длины дуги параллели

Параллель на эллипсоиде является окружностью, поэтому вычисление длины дуги параллели сводится к определению длины дуги окружности ∆Y с центральным углом, равным разности долгот l =∆L = L₂ - L₁ конечных точек дуги.

 

 

Рис. 21. Длина дуги параллели

 

 

- 33 -

Радиус параллели r определяется формулой

(90)

 

Длина дуги параллели ∆Y, имеющей широту В и разность долгот l конечных точек, определяется формулой

(91)

 

где

- радиан в секундах дуги.

 

Значение радиуса кривизны первого вертикала вычисляется по формуле

 

(92)

 

Отсюда легко получить формулу вычисления разности долгот l двух точек параллели на широте В.

(93)

 

Для контроля вычислений длину дуги параллели следует определить, как разность длин дуг Y₂ и Y₁, отсчитываемых от меридиана с долготой L₁ - 30' (рис. 21). Значения величин Y₂ и Y₁ получим, применяя формулу (91):

 

 

Искомую длину дуги параллели получим по формуле

Примечание. Точность формулы (91) зависит от разности долгот l. Если l < 1°, то длину дуги параллели получим с ошибкой ± 0,001 м.

- 34 -

Примеры

Вычисления длин линий и площадей фигур на поверхности эллипсоида

Пример 1. Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками с широтами В₂ = 49°29'58,938'' и B₁ = 45°30'17,221'', пользуясь формулой Симпсона

 

(94)

где:

(95)

 

 

В₁ и В₂ - широты концов дуги меридиана; М₁, М₂, М_ср - значения радиусов кривизны меридиана в точках с данными широтами и с широтой

(96)

 

Для контроля вычислений длину дуги меридиана S_М следует вычислить как сумму длин дуг Х₁ и Х₂ меридиана от точки с широтой В_ср до точек с широтами В₁ и В₂. На основании (93) будем иметь (рис. 21)

 

 

(97)

 

 

 

где M'_ср и M''_ср - значения радиусов кривизны меридиана в точках с широтами

 

и которые

 

определяются по формуле (94).

 

 

- 35 -

 

 

 

Рис. 21. Вычисление длины дуги меридиана

 

Примечание. При расстояниях между точками до 500 км формула (93) обеспечивает точность вычислений 1 - 2 см. Если дуга меридиана превышает 500 км, то для вычисления длины дуги следует разделить её на части, не превышающие 500 км, и применить формулу (93) к каждой части в отдельности.

Таблица 1

Вычисление длины дуги меридиана между двумя точками по формулам Симпсона

Схема решения

Формулы	Результаты вычислений	Формулы	Результаты вычислений
a e2	6 378 245,0 м 0,006 693 42	a e2	6 378 245,0 м 0,006 693 42
a(1-e2)	633 5552,717 м	1,25e2sin2 B1	0,004 257 10
1/6 ρ"	8 080 228·10-13	1,25e2sin2 B2	0,004 837 77
B2	49°29'58,938"	1,25e2sin2 Bср.	0,004 548 32
B1	45°30'17,221"	1+0,25e2 sin2 B1	1,000 851 42
Bср.	47 30 08,080	1+0,25e2 sin2 B2	1,000 967 56
0,25e2	0,001 673 36	1+0,25e2 sin2 Bср.	1,000 909 66
1,25e2	0,008 366 78	1 - 1,25e2 sin2 B1	0,995 742 90
sinB1	0,713 308 97	1 - 1,25e2 sin2 B2	0,995 162 23
sinB2	0,760 402 63	1 - 1,25e2sin2 Bср.	0,995 451 68
sinBср.	0,737 303 80	M1	6 368 056,324 м
sin2 B1	0,508 809 69	M2	6 372 511,409 м
sin2 B2	0,578 212 16	Mср.	6 370 290,021 м
sin2 Bср.	0,543 616 89	(B2 - B1)"	14 381,717"
0,25e2 sin2 B1	0,000 851 42	(B2 - B1)"/6 ρ"	0,011 620 755
0,25e2 sin2 B2	0,000 967 56	S, м	444 165,343 м
0,25e2 sin2 Bср.	0,000 909 66

 

- 36 -

 

Таблица 2