Вопрос №1.Перестановка, размещение и сочетание без повторений

Вопрос №1.Перестановка, размещение и сочетание без повторений

Одно и то же множество можно упорядочить различными способами. Например, множество студентов группы можно упорядочить по возрасту, росту, алфавиту, успеваемости… Множества всех перестановок из n элементов будем обозначать

Теорема. Число различных перестановокиз n элементов определяется по формуле: P=1*2*3*…*n=n! (n- факториал)

4!=1*2*3*4=24

Считают,что 0!=1

Задача. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 01234,если ни одна НЕ должна повторяться дважды?

=1*2*3*4*5=120

Из 120 вычтем числа, которые начинаются на 0(т.е. 4-хзначные числа).Для этого цифру 0 закрепим на 1 месте и останется выяснить сколько 4-хзначных чисел можно составить из 1234; =1*2*3*4=24

120-24=96

Всякое упорядоченное k-элементное подмножество n элементов множества (k≤n) называется размещением из n-элементов по k.

Два размещения считаются различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или состоят из одних и тех же элементов,но расположены в разном порядке. Число различных размещений из n элементов по k элемявыыентов обозначается символом

Теорема. = (размещение) порядок играет роль

Задача.1) Сколькими способами можно распределить 5 путёвок в различные дома отдыха, если отдохнуть желают 12 человек. Из 12 нужно выбрать 5, а затем между ними распределить путевки, это размещение из 12 элементов по 5

= = = =95040

Задача.2) Сколько 4-хзначных чисел можно составить из цифр 1234567,если ни одна цифра НЕ должна повторяться больше одного раза.

= = =4*5*6*7=840

 

Теорема. = (сочетания) порядок НЕ играет роль

Задача. Из группы студентов,состоящих из 25 человек, надо составить команду из 4-х чел, для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать. Порядок НЕ играет роли.

= = = =12650

 

Вопрос №3. Позиционные и непозиционные системы счисления

Для наименования записи чисел и выполнения действий над ними в математике называется системой счисления(СЧ).

Для записи натуральных чисел применялись различные СЧ, которые можно разделить на позиционные и непозиционные.

В непозициооных СЧ значение каждого символа не зависит от его места в записи числа. Примером является римская нумерация чисел в которой: I-единица, V- пять, X- десять, L- пятьдесят, C-сто, D- пятьсот, M- тысяча.

Правило записи чисел в римской системе заключается в следующем:

А) если знак, изображающий меньшее число, стоит после знака изображающего болешее число, то производится сложение;

V I= 5+1=6

X V=10+5=15

Б) если знак, изображающий меньшее число, стоит перед знаком изображающий большее число, то производится вычитание;

I V=5-1=4

I X=10-1=9

Непозиционной системой считалась также греческая система, в которой Альфа (α)=1, Бета (β)=2, Гамма (γ)=3, …

В непозиционных СЧ записи получаются длинными, умножение и деление в письменном виде производить невозможно.

На смену к непозиционным системам пришли позиционные СЧ, в которых значения символов зависит от места или позиции в записи числа.

Пр.

 

						28
-
						58
						58

			(11)		813
-
			(10)		513
					313

 

 

Пр. Составим таблицу умножения чисел в пятеричной системе.

 

Равные комплексные числа

- два комплексных числа Z₁ = a₁ + b₁ * i

Z₂ = a₂ + b₂ * i

A₁ = a₂;b₁ = b₂

Вопрос №1.Перестановка, размещение и сочетание без повторений

Одно и то же множество можно упорядочить различными способами. Например, множество студентов группы можно упорядочить по возрасту, росту, алфавиту, успеваемости… Множества всех перестановок из n элементов будем обозначать

Теорема. Число различных перестановокиз n элементов определяется по формуле: P=1*2*3*…*n=n! (n- факториал)

4!=1*2*3*4=24

Считают,что 0!=1

Задача. Сколько различных пятизначных чисел можно записать с помощью цифр 01234,если ни одна НЕ должна повторяться дважды?

=1*2*3*4*5=120

Из 120 вычтем числа, которые начинаются на 0(т.е. 4-хзначные числа).Для этого цифру 0 закрепим на 1 месте и останется выяснить сколько 4-хзначных чисел можно составить из 1234; =1*2*3*4=24

120-24=96

Всякое упорядоченное k-элементное подмножество n элементов множества (k≤n) называется размещением из n-элементов по k.

Два размещения считаются различными, если они отличаются друг от друга хотя бы одним элементом или состоят из одних и тех же элементов,но расположены в разном порядке. Число различных размещений из n элементов по k элемявыыентов обозначается символом

Теорема. = (размещение) порядок играет роль

Задача.1) Сколькими способами можно распределить 5 путёвок в различные дома отдыха, если отдохнуть желают 12 человек. Из 12 нужно выбрать 5, а затем между ними распределить путевки, это размещение из 12 элементов по 5

= = = =95040

Задача.2) Сколько 4-хзначных чисел можно составить из цифр 1234567,если ни одна цифра НЕ должна повторяться больше одного раза.

= = =4*5*6*7=840

 

Теорема. = (сочетания) порядок НЕ играет роль

Задача. Из группы студентов,состоящих из 25 человек, надо составить команду из 4-х чел, для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать. Порядок НЕ играет роли.

= = = =12650